Dowód (matematyka)
Dowód (matematyka)Dowód – w matematyce wykazanie, że pewne zdanie jest prawdziwe. Dowód należy odróżnić od empirycznego lub
heurystycznego
rozumowania. Każdy krok dowodu musi jasno wynikać z poprzednich lub być przyjętym
aksjomatem
; rozumowanie nie spełniające tego warunku nie jest dowodem. Ostatni krok dowodu to udowodnione zdanie, które w ten sposób staje się twierdzeniem danej
teorii
. Zwyczajowo koniec dowodu oznacza się skrótem
q.e.d
(quod erat demonstrandum), c.n.d. (co należało dowieść) lub podobnym. Metody dowoduO ile nie istnieje żaden wyczerpujący podział dowodów, można wyróżnić niektóre metody używane w dowodach: -
Dowód wprost
polegający na przyjęciu założeń i bezpośrednim wykazaniu tezy. Przykład: udowodnimy, że suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą. Wiemy, że liczby parzyste to takie, które można zapisać w postaci 2k, gdzie k jest całkowite; suma dwóch liczb parzystych wynosi 2k + 2l = 2(k + l), co jest również liczbą parzystą, c.n.d.
-
Dowód nie wprost
(dowód apagogiczny) polegający na przyjęciu, że twierdzenie jest fałszywe i wykazaniu, że dochodzi się do niedorzeczności. Przykładem może być
dowód niewymierności pierwiastka z dwóch
: załóżmy, że jest liczbą wymierną, jednak to założenie prowadzi do sprzeczności.
- Dowód kombinatoryczny to specyficzny rodzaj dowodu używany przy tożsamościach kombinatorycznych, zwykle polegający na policzeniu możliwości ustawień na dwa sposoby. Przykład: Udowodnimy, że dla zachodzi . Wyobraźmy sobie, że mamy wybrać k spośród n osób. Możemy to zrobić na sposobów. Możemy wyróżnić jedną z osób, nazwijmy ją X. Jeżeli wybierzemy X-a, to pozostanie nam sposobów na wybranie pozostałych osób. Jeżeli nie wybierzemy X-a, to pozostanie nam sposobów. Te możliwości są wyczerpujące i rozłączne; zatem .
Geometryczny dowód twierdzenia Pitagorasa - Dowód geometryczny polega na wykorzystaniu metod geometrii, takich jak przystawanie i podobieństwo figur. Dowody geometryczne mogą być wykorzystywane również poza geometrią (patrz
geometryczny dowód niewymierności pierwiastka z 2
)
-
Dowód indukcyjny
to dowód wykorzystujący zasadę
indukcji matematycznej
.
-
Metoda przekątniowa
to rodzaj rozumowania używany w dowodach, że nie istnieje pewien obiekt. Przykłady twierdzeń, które można udowodnić w ten sposób: zbiór liczb rzeczywistych nie jest przeliczalny,
twierdzenie Cantora
, nierozwiązywalność
problemu stopu
.
- Użycie wspomagania komputerowego, np. dowód
twierdzenia o czterech barwach
. Takie dowody wzbudzają kontrowersje, gdyż niemożliwe jest zweryfikowanie ich przez człowieka. Innym przykładem użycia komputerów jest rozproszony projekt Seventeen or Bust sprawdzający potencjalnych kandydatów na
liczby Sierpińskiego
.
- Dowód niezależności to dowód, że pewnego zdania nie można udowodnić. Przykładem jest dowód niezależności
hipotezy continuum
, wykorzystujący
forsing
.
- Dowód konstruktywny to dowód polegający na znalezieniu pewnego obiektu spełniającego wymagane założenia. Przykład: aby udowodnić, że wielomian x3 − 8 ma pierwiastek rzeczywisty, wystarczy zauważyć, że jest nim liczba 2. Aby udowodnić, że każdy graf spójny zawierający co najwyżej dwa wierzchołki stopnia nieparzystego ma
drogę Eulera
, można podać algorytm znajdujący ją.
-
Dowód niekonstruktywny
to dowód polegający na wykazaniu, że istnieje obiekt spełniający założenia, jednak bez konstrukcji. Przykład: aby udowodnić, że wielomian x3 − 8 ma pierwiastek rzeczywisty, zauważmy, że przyjmuje on wartość ujemną dla x = 0 i dodatnią dla x = 100. Ponieważ y = x3 − 8 jest funkcją ciągłą, z
twierdzenia Cauchy'ego
wynika, że wielomian ma miejsce zerowe w przedziale (0,100). Innym przykładem jest wykorzystanie
zasady szufladkowej Dirichleta
.
- Dowód nieefektywny to dowód wykorzystujący
aksjomat wyboru
.
W złożonych, wielostopniowych dowodach wykorzystuje się twierdzenia pomocniczne, tzw.
lematy
. Dowód formalnyW teorii sformalizowanej dowód przyjmuje ścisłą formę tak zwanego dowodu formalnego, który jest skończonym ciągiem wyrażeń ustalonego
języka
sformalizowanego, takim że dla każdego i = 1,...,n:pi jest aksjomatem lub pi jest wnioskiem z przesłanek pj,pk (gdzie j,k < i) wyprowadzonym przez zastosowanie przyjętej reguły
dedukcyjnej
. Jeżeli dany ciąg jest dowodem formalnym przy zbiorze aksjomatów A, to mówi się, że jest to dowód formalny dla pn z A oraz że pn da się dowieść z A. Zobacz też
Inne hasła zawierające informacje o "Dowód (matematyka)":
Iloczyn
...
Uniwersytet Witolda Wielkiego
...
Widmo
...
Wskaźnik
...
Wnioskowanie
...
Akcja (prawo)
...
Grupa
...
Wojciech Brudzewski
...
Metalimnion
...
Hydrobiologia
...
Inne lekcje zawierające informacje o "Dowód (matematyka)":
Potęgi (plansza 2)
...
Pierwiastki (plansza 1)
...
Rozwinięcia dziesiętne (plansza 1)
...
|