Przykład tablic arytmetycznych z XIX w.
Arytmetyka (
łac.
arithmetic,
gr.
αριθμητική arithmētikē, od αριθμητικός arithmētikos – arytmetyczna, od αριθμειν arithmein – liczyć, od αριθμός arithmós – liczba; spokr. ze
staroang.
rīm – liczba, i być z gr. αραρισκειν arariskein – pasować) – najstarsza część
matematyki
. W powszechnym użyciu słowo to odnosi się do zasad opisujących podstawowe działania na
liczbach
(arytmetyka elementarna).
Historia
Nasza wiedza o prehistorii arytmetyki jest ograniczona do kilku niewielkich artefaktów udowadniających posługiwanie się pojęciami dodawania i odejmowania przez ludy neolityczne. Najbardziej znanym jest Kość z Ishango datowana na 18 000 lat przed naszą erą.
Nie ma wątpliwości, że
Babilończycy
posiadali szeroką wiedzę w niemal wszystkich aspektach elementarnej arytmetyki już dwa tysiące lat przed naszą erą (patrz Plimpton 322). W papirusach ze
starożytnego Egiptu
pochodzących z
XVII wieku p.n.e.
można znaleźć dokładne algorytmy mnożenia i używania
ułamków
.
Pitagorejczycy
w
szóstym wieku p.n.e.
uznawali arytmetykę za jedną z czterech najważniejszych nauk. Znalazło to odbicie również w programie
średniowiecznych
uniwersytetów jako element Quadrivium, które razem z Trivium utworzyło
siedem sztuk wyzwolonych
.
Współczesne algorytmy arytmetyczne (zarówno do obliczeń pisemnych jak i elektronicznych) opierają się na
cyfrach arabskich
i pozycyjnym
systemie liczbowym
. Choć dzisiaj wydaje się oczywisty, jego prostota jest kulminacją tysięcy lat rozwoju matematyki. Przykładowo
Archimedes
poświęcił całą pracę O liczeniu piasku wymyśleniu notacji dla zapisu wielkich liczb. Rozwój algebry w średniowiecznym świecie islamskim i w renesansowej Europie został umożliwiony przez znaczne uproszczenie obliczeń w systemie dziesiętnym.
Arytmetyka dziesiętna
System dziesiętny
pozwala zapisywać liczby za pomocą dziesięciu
cyfr
: 0,1,2, …, 9. Liczba w takim zapisie jest sekwencją cyfr, w której znaczenie każdej cyfry zależy od jej położenia w stosunku do przecinka: przykładowo 507,36 oznacza 5 setek (102), plus 0 dziesiątek (101), plus 7 jednostek (100), plus 3 dziesiąte (10-1) plus 6 setnych (10-2). Kluczową częścią tego zapisu (i jednym z głównych odkryć umożliwiających jego wprowadzenie) jest zastosowanie symbolu 0 mogącego pełnić tę samą rolę co inne cyfry.
Warto zauważyć, że ani system dziesiętny, ani żaden inny, nie pozwalają dla dowolnej liczby rzeczywistej na dokładne jej zapisanie – w przypadku
liczb niewymiernych
zapis po przecinku nie jest okresowy, dokładne jej wyrażenie wymagałoby więc nieskończonej liczby cyfr.
Operacje arytmetyczne
Tradycyjne operacje arytmetyczne to
dodawanie
,
odejmowanie
,
mnożenie
i
dzielenie
. Czasem dodaje się do tej listy takie operacje jak
procent
,
pierwiastek kwadratowy
,
potęga
i
logarytm
. Arytmetyka wymaga wykonywania ich zgodnie z
kolejnością działań
. Każdy zbiór obiektów dla których można wykonać cztery podstawowe operacje (poza
dzieleniem przez zero
) i gdzie te operacje spełniają pewne podstawowe prawa nazywamy
ciałem
.
Arytmetyka w edukacji
Edukacja podstawowa
w matematyce kładzie zwykle duży nacisk na nauczanie arytmetyki liczb
naturalnych
,
całkowitych
i
wymiernych
(w postaci
ułamków zwykłych
i
dziesiętnych
). Trudność i brak wytłumaczonej motywacji wprowadzania tych działań prowadziła wielokrotnie do kwestionowania ich obecności w programie nauczania.
Od czasu wprowadzenia elektronicznych
kalkulatorów
, które potrafią wykonywać algorytmy znacznie szybciej niż człowiek, pojawia się wiele opinii że mistrzowskie posługiwanie się arytmetyką nie jest już istotne dla uczniów. W tym ujęciu, pierwsze lata nauki powinny być poświęcane na zrozumienie bardziej skomplikowanych pojęć dotyczących zastosowania liczb, powiązań pomiędzy nimi, wyników
pomiarów
itp. Obecnie jednak przeważa nadal opinia że biegłe posługiwanie się algorytmami arytmetycznymi jest niezbędne dla dalszej edukacji w matematyce.
Zobacz też