Rachunek predykatów pierwszego rzędu – (
ang.
first order predicate calculus) to system
logiczny
, w którym zmienna, na której oparty jest
kwantyfikator
, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być
zbiorem
takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu "dla każdej
funkcji
z X na Y ..." (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), "istnieje własność p, taka że ..." czy "dla każdego podzbioru X zbioru Z ...". Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów, ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się
logiką matematyczną
).
Na przykład w rachunku predykatów pierwszego rzędu można zapisać zdanie "dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje liczba większa", jednak nie można zapisać "każdy zbiór liczb rzeczywistych ma
kres górny
", gdyż wówczas kwantyfikator ogólny musiałby przebiegać wszystkie możliwe podzbiory zbioru liczb rzeczywistych i potrzebny byłby rachunek predykatów co najmniej drugiego rzędu.
Rachunek predykatów pierwszego rzędu w ogólnym przypadku nie jest rozstrzygalny (w przeciwieństwie do
rachunku zdań
), lecz półrozstrzygalny (czyli rekurencyjnie przeliczalny), ale jeszcze nadaje się do
komputerowej analizy
(co już niekoniecznie można powiedzieć o rachunku predykatów wyższych rzędów, które dopuszczają kwantyfikatory dla zbiorów).
Znaczna część rozważań matematycznych może być sformalizowana na gruncie logiki pierwszego rzędu. Ponadto logika ta ma wiele własności czyniących ją bardziej użyteczną od innych logik, co ma wpływ na pewne preferowanie teorii formalizowalnych na jej gruncie.
W literaturze istnieje szereg równoważnych rozwinięć tego tematu. Prezentacja przedstawiona poniżej jest do pewnego stopnia oparta o książkę Martina Goldsterna i Haima Judaha[1]. Wśród innych źródeł omawiających te zagadnienia należy wymienić podręcznik Witolda Pogorzelskiego[2] czy też książkę Zofii Adamowicz i Pawła Zbierskiego[3]. Bardzo popularnym jest też opracowanie Josepha Shoenfielda[4].
Wstęp do formalizacji
Logika pierwszego rzędu jest podstawą, na której formalizujemy większość matematyki. We wstępie do wspomnianej powyżej książki Goldsterna i Judaha traktującej właśnie o tej tematyce,
Saharon Shelah
napisał:
- [Na gruncie matematyki] możemy zdefiniować czym jest dowód i wykazać, że w pewnym sensie "być prawdziwym" i "mieć dowód" znaczą to samo (twierdzenie
Gödla
o pełności). (...) Nie możemy wyciągnąć sami siebie z bagna za włosy: nie możemy udowodnić w naszym systemie, że nie ma w nim sprzeczności (twierdzenie Gödla o niezupełności) (...) Możemy zbudować ogólną teorię teorii matematycznych (
teoria modeli
).
System rachunku predykatów pierwszego rzędu składa się z:
- zmiennych nazwowych (litery, za które wolno podstawić nazwy dowolnych przedmiotów)
- stałych nazwowych (nazwy własne przedmiotów)
- liter predykatowych (predykaty)
- symboli funkcyjnych (funktory nazwotwórcze od argumentów nazwowych)
- stałych logicznych (spójniki prawdziwościowe
rachunku zdań
i
kwantyfikatory
)
- znaków pomocniczych (nawiasy)
- symbolu równości.
Używając symboli wymienionych powyżej i przestrzegając naturalnych reguł możemy budować poprawnie zbudowane napisy. Niektóre z tych napisów mogą być interpretowane jako nazwy na pewne obiekty, a inne będą mówić o własnościach tych obiektów. Pierwsza grupa napisów poprawnie zbudowanych to termy, a druga to
zdania
. Przykładowy schemat kwantyfikatorowy zdania: Nie ma czegoś, czym ciekawią się wszyscy...
(czyt.: Nie istnieje taki x, że x jest substratem wiedzy, i dla każdego y, że jeżeli y jest istotą rozumną, to y ciekawi się x.)
Następnie ustalimy reguły wnioskowania a także metody interpretacji naszych napisów.
Formalizacja języka
Każdy język pierwszego rzędu jest zdeterminowany przez ustalenie alfabetu.
Niech τ będzie pewnym zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną
arność
(która jest dodatnią liczbą całkowitą). Zbiór τ będzie nazywany alfabetem naszego języka, a sam język wyznaczony przez ten alfabet będzie oznaczany przez . Ustalmy też nieskończoną listę zmiennych (zwykle ).
Najpierw definiujemy termy języka jako elementy najmniejszego zbioru takiego, że:
- wszystkie stałe i zmienne należą do ,
- jeśli i jest n-arnym symbolem funkcyjnym, to .
Następnie określamy zbiór formuł języka jako najmniejszy zbiór taki, że:
- jeśli , to wyrażenie t1 = t2 należy do ,
- jeśli zaś jest n-arnym symbolem relacyjnym, to wyrażenie należy do ,
- jeśli i * jest binarnym spójnikiem zdaniowym (
alternatywą
,
koniunkcją
,
implikacją
lub
równoważnością
), to oraz ,
- jeśli xi jest zmienną oraz , to także i .
W formułach postaci i mówimy, że zmienna xi znajduje się w zasięgu
kwantyfikatora
i jako taka jest związana. Przez indukcję po złożoności formuł rozszerzamy to pojęcie na wszystkie formuły, w których czy też pojawia się jako jedna z części użytych w budowie, ale ograniczamy się do występowań zmiennej xi w (i mówimy, że konkretne wystąpienie zmiennej jest wolne lub związane).
Zdanie
w języku pierwszego rzędu to taka formuła, w której każda zmienna jest związana, czyli znajduje się w zasięgu działania jakiegoś kwantyfikatora.
Przykłady
- Język
teorii mnogości
to , gdzie jest binarnym symbolem relacyjnym.
- Język
teorii grup
to , gdzie * jest binarnym symbolem funkcyjnym.
- Język
ciał uporządkowanych
to , gdzie są binarnymi symbolami funkcyjnymi a jest binarnym symbolem relacyjnym.
Dowody w językach pierwszego rzędu
Ustalmy alfabet τ (tak więc jest to zbiór złożony ze stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych).
Podstawienia termów za zmienne
Przypuśćmy, że t i s są termami języka oraz x1 jest jedną ze zmiennych. Definiujemy podstawienie s(x1 / t) jako term który jest otrzymany z s przez zastąpienie wszystkich wystąpień zmiennej x1 w s przez t.
Podobnie, dla termu t i formuły języka oraz zmiennej x1 określamy podstawienie jako taką formulę, która jest otrzymana z przez zastąpienie wszystkich wystąpień zmiennej x1 w przez term t. Powiemy, że term t może być podstawiony za zmienną x1 w jeśli po podstawieniu, żadna ze zmiennych wolnych w t nie znalazła się w zasięgu kwantyfikatora wiążącego ją.
Przykłady
Rozważmy język ciał uporządkowanych . Niech termy t,s,u bedą, odpowiednio 0 + x1 + x2, oraz . Rozważmy formułę . Wówczas
- s(x1 / t) to term ,
- s(x1 / u) to term ,
- to formuła i term t może być podstawiony za zmienną x1 w ,
- to formuła i term u nie może być podstawiony za zmienną x3 w .
Aksjomaty logiczne
Formuły następujących typów będą nazywane aksjomatami czystymi:
- podstawienia formuł do
tautologii
rachunku zdań
,
- formuły postaci (gdzie to formuły),
- formuły postaci , gdzie term t może być podstawiony za zmienną xi w ,
- formuły postaci gdzie zmienna xi nie jest wolna w formule ,
- formuły postaci
- x = x,
- i
- ,
- gdzie x,y,z są (niekoniecznie różnymi) zmiennymi,
- ,
- gdzie są zmiennymi a jest k-arnym symbolem relacyjnym,
- ,
- gdzie są zmiennymi a jest k-arnym symbolem funkcyjnym.
Aksjomaty czyste i formuły postaci , gdzie jest aksjomatem czystym, są nazywane aksjomatami logicznymi.
Reguła wnioskowania
Jeśli są formułami języka , oraz φ1 jest postaci to powiemy, że formuła ψ może być wywnioskowana z w oparciu o regułę
modus ponens
.
Dowód
Niech będzie jakimś zbiorem formuł języka (możliwie pustym). Dowodem ze zbioru aksjomatów A nazywamy skończony
ciąg
formuł taki, że dla każdego ,
- jest jedną z formuł z A, lub
- jest aksjomatem logicznym, lub
- może być wywnioskowana z w oparciu o regułę modus ponens. dla pewnych k,l.
Jeśli jest dowodem ze zbioru aksjomatów A, to powiemy że formuła jest dowodliwa z A albo też że jest twierdzeniem z A i napiszemy wtedy . Jeśli A jest zbiorem pustym to możemy pominąć je w naszych oznaczeniach i napisać .
Powiemy, że A jest sprzecznym zbiorem aksjomatów, jeśli dla pewnej formuły mamy zarówno że jak i . W przeciwnym razie mówimy, że A jest niesprzeczny.
Podstawowe własności
Niech będzie jakimś zbiorem formuł języka oraz niech będą formułami tegoż języka.
-
Twierdzenie o dedukcji
: wtedy i tylko wtedy gdy .
- Twierdzenie o uogólnianiu: Jeśli zmienna x nie pojawia się jako zmienna wolna żadnej z formuł w A oraz , to .
- Twierdzenie o wprowadzeniu kwantyfikatora :
- (1) Przypuśćmy że term t może być podstawiony za zmienną x w ψ. Jeśli , to .
- (2) Przypuśćmy że zmienna x nie jest wolna w ψ ani w żadnej z formuł w zbiorze A. Jeśli , to .
- Twierdzenie o wprowadzeniu kwantyfikatora :
- (1) Przypuśćmy że term t może być podstawiony za zmienną x w . Jeśli , to .
- (2) Przypuśćmy że zmienna x nie jest wolna w ψ ani w żadnej z formuł w zbiorze A. Jeśli , to .
-
Twierdzenie o zwartości
I: zbiór zdań A jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy gdy każdy jego podzbiór skończony jest niesprzeczny.
Interpretacje (modele) języka pierwszego rzędu
Ustalmy alfabet τ, ponadto ustalmy że Sτ jest zbiorem stałych tego alfabetu, Fτ jest zbiorem symboli funkcyjnych a Rτ to zbiór symboli relacyjnych.
Modele
Interpretacją lub
modelem
języka nazywamy układ
gdzie
- M jest niepustym zbiorem zwanym dziedziną lub uniwersum modelu (często uniwersum modelu oznacza się przez ),
- dla n-arnego symbolu relacyjnego , jest n-argumentową
relacją
na zbiorze M, tzn. ,
- dla n-arnego symbolu funkcyjnego , jest n-argumentowym
działaniem
na zbiorze M, tzn. ,
- dla stałej , jest elementem zbioru M.
Interpretacja termów w modelu
Przez indukcję po złożoności termów języka definiujemy interpretację termu w modelu . Dla termu o zmiennych wolnych zawartych wśród i dla elementów uniwersum modelu wprowadzamy następująco.
- Jeśli t jest stałą c alfabetu τ, to .
- Jeśli t jest zmienną xi, to .
- Jeśli i jest k-arnym symbolem funkcyjnym, to .
Relacja spełniania w modelu
Przez indukcję po złożoności formuł języka definiujemy kiedy formuła jest spełniona w modelu . Dla formuły o zmiennych wolnych zawartych wśród i elementów uniwersum modelu wprowadzamy relację (czyt. "formuła jest spełniona w modelu na elementach ") następująco.
- Jeśli φ jest formułą t1 = t2 dla pewnych termów których zmienne wolne są zawarte wśród , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy elementy i zbioru M są identyczne.
- Jeśli φ jest formułą dla pewnych termów których zmienne wolne są zawarte wśród i k-arnego symbolu relacyjnego , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy elementy .
- Jeśli φ jest formułą dla pewnych formuł których zmienne wolne są zawarte wśród , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy oraz .
- Jeśli φ jest formułą dla pewnych formuł których zmienne wolne są zawarte wśród , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy lub .
- Jeśli φ jest formułą dla pewnych formuł których zmienne wolne są zawarte wśród , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy lub nie zachodzi że .
- Jeśli φ jest formułą dla pewnych formuł których zmienne wolne są zawarte wśród , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy albo oba zdania i są prawdziwe, albo oba są fałszywe.
- Jeśli φ jest formułą dla pewnej formuły której zmienne wolne są zawarte wśród , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zdanie jest fałszywe.
- Jeśli φ jest formułą dla pewnej formuły której zmienne wolne są zawarte wśród , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zdanie jest prawdziwe dla każdego ciągu elementów uniwersum M takich, że oraz ilekroć xi jest zmienną wolną w φ.
- Jeśli φ jest formułą dla pewnej formuły której zmienne wolne są zawarte wśród , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy dla pewnego ciągu elementów uniwersum M takich, że oraz ilekroć xi jest zmienną wolną w φ mamy, że .
Podstawowe własności
- Twierdzenie o zupełności: zbiór zdań A jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy gdy ma on model (tzn jest spełniony w pewnym modelu języka ).
-
Twierdzenie o zwartości
II: zbiór zdań A ma model wtedy i tylko wtedy gdy każdy jego podzbiór skończony ma model.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Martin Goldstern; Haim Judah: The Incompleteness Phenomenon. A new course in mathematical logic. A K Peters, Wellesley, Massachusetts, 1995.
- ↑ Witold A. Pogorzelski: Klasyczny rachunek kwantyfikatorów, zarys teorii, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1981.
- ↑ Zofia Adamowicz; Paweł Zbierski: Logic of mathematics. A modern course of classical logic. "Pure and Applied Mathematics" (New York). A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997. .
- ↑ Joseph R. Shoenfield: Mathematical Logic, Association for Symbolic Logic, 1967. .