Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) -
układ współrzędnych
na
płaszczyźnie
wyznaczony przez pewien
punkt
O zwany biegunem oraz
półprostą
OS o początku w punkcie O zwaną
osią
biegunową.
Definicja
Każdemu punktowi P płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe jak następuje[1]:
- promień wodzący punktu P to jego odległość |OP| od bieguna
- amplituda punktu P to wartość
kąta skierowanego
pomiędzy półprostą OS a
wektorem
Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna O są równe (0,0). O amplitudzie możemy zakładać, że (niektórzy autorzy przyjmują ).
Rys historyczny
Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w
Europie
w
XVII wieku
. Według Juliana Coolidge'a[2] pierwszeństwo w używaniu tego systemu należy przyznać albo Grégoire de Saint-Vincentowi lub
Bonaventurze Cavalieriemu
.
- Cavalieri[3] użył współrzędnych biegunowych aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego
spiralą Archimedesa
(a ściślej mówiąc jej pierwszym "obrotem").
- W 1647 de Saint-Vincent opublikował pracę w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625.
- W 1658,
Blaise Pascal
używa układu biegunowego w wyznaczeniu długości pewnych łuków. Trzy lata później podobną metodę użył szkocki matematyk
James Gregory
.
-
Isaac Newton
[4] dyskutuje różne układy współrzędnych i w pewnych przypadkach używa układu biegunowego.
- Za twórcę biegunowego układu współrzędnych w jego współczesnej formie uważa się
Jakoba Bernoulliego
, który używał tego układu w badaniach
krzywizny
pewnych krzywych.
Związek z systemem kartezjańskim
Wykres ilustrujący związek systemów polarnego i kartezjańskiego
Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie:
układ kartezjański
OXY oraz układ biegunowy z biegunem O i osią biegunową OX.
Przejście od systemu polarnego do systemu kartezjańskiego
Dla danego wektora wodzącego i amplitudy punktu P, jego współrzędne kartezjańskie określa:
Jakobian
przejścia wynosi
-
Przejście od systemu kartezjańskiego do systemu polarnego
Rozważmy punkt którego współrzędne kartezjańskie są (x,y). Promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie
twierdzenia Pitagorasa
:
- .
Jeśli , to amplituda tego punktu jest dana przez:
gdzie oznacza funkcję
arcus tangens
. W zakresie kątów ( − π,π) można ten zapis uprościć do
gdzie oznacza funkcję
signum
.
Krzywe w układzie biegunowym
Dla szeregu krzywych algebraicznych, ich równania przedstawione w systemie biegunowym cechują się dużą symetrią lub pewną prostotą. Równania te nazywamy równaniami biegunowymi krzywych.
Okrąg
Okrąg
o środku w punkcie i promieniu a > 0 jest opisany przez równanie
W szczególnym przypadku gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, powyższe równanie przybiera szczególnie prostą postać:
- r = a
Róża
Róża o równaniu
Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie
- ,
gdzie jest dowolną stałą, a jest parametrem wyznaczającym długość "płatków" róży, a k jest parametrem wyznaczającym ilość i formę "płatków" róży. Jeśli k jest
nieparzystą
liczbą całkowitą
, to róża będzie miała k płatków, a jeśli k jest parzystą liczbą całkowitą to róża będzie miałą 2k płatków. Dla innych wartości k kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.
Spirala Archimedesa
Jedno ramie spirali Archimedesa o równaniu
dla
Spirala Archimedesa
jest przedstawiona przez równanie
Parametry a,b w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana a spowoduje obrócenie krzywej, a wartość b wyznacza odległość pomiędzy ramionami.
Prosta
Prosta
radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie
- ,
gdzie to nachylenie prostej.
Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej
i przecina ją w punkcie , zadana jest przez równanie
- .
Liczby zespolone
Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych
Liczby zespolone
mogą być przedstawiane jako punkty na
płaszczyźnie zespolonej
. Wówczas możemy je opisywać albo używając układu kartezjańskiego:
albo podając je w układzie biegunowym, otrzymując tzw. postać trygonometryczną liczby zespolonej z:
- .
(Powyżej, r to
moduł
liczby z, a to jej
argument
.)
Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest przekształcana do postaci wykładniczej
gdzie e to
liczba Eulera
.
Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest szczególnie proste:
Zobacz też
Przypisy
- ↑
Leja, Franciszek
: Geometria analityczna. Wydanie 6. Państ. Wydaw. Naukowe, Warszawa 1976, strona 45.
- ↑ Coolidge, Julian: The Origin of Polar Coordinates. "The American Mathematical Monthly" 59 (1952), strony 78-85.
- ↑ Cavalieri, Bonaventura: Geometria indivisilibus continuorum. Bonn 1653. (Pierwsze wydanie ukazało się w 1635.)
- ↑ Newton: The Method of Fluxions. Londyn 1736. (Napisane w 1671.)