Startuj z nami!

www.szkolnictwo.pl

praca, nauka, rozrywka....

mapa polskich szkół
Nauka Nauka
Uczelnie Uczelnie
Mój profil / Znajomi Mój profil/Znajomi
Poczta Poczta/Dokumenty
Przewodnik Przewodnik
Nauka Konkurs
uczelnie

zamów reklamę
zobacz szczegóły
uczelnie
PrezentacjaForumPrezentacja nieoficjalnaZmiana prezentacji
Konstrukcje zbiorów liczbowych (fragment pracy mgr)

Od 01.01.2015 odwiedzono tę wizytówkę 1170 razy.
Chcesz zwiększyć zainteresowanie Twoją jednostką?
Zaprezentuj w naszym informatorze swoją jednostkę ->>>
* szkolnictwo.pl - najpopularniejszy informator edukacyjny - 1,5 mln użytkowników miesięcznie



Platforma Edukacyjna - gotowe opracowania lekcji oraz testów.



 

WSTĘP
Określenie liczby jako pojęcia bardziej sprecyzowanego poprzedziły niejasne i mgliste spostrzeżenia człowieka pierwotnego związane z porównywaniem ilości różnych zbiorów przedmiotów. W najdawniejszych czasach, sięgających epoki, kiedy człowiek żył jeszcze w pierwszym stadium swojego rozwoju, liczba była związana ze zbiorem ściśle określonych przedmiotów.
Nie znano liczb pozbawionych nazw przyporządkowanego przedmiotu. Liczebniki takie jak ..jeden", „dwa", „trzy" itd. Stanowiły wówczas zwartą całość z jednostką liczoną, czyli występowały jako końcówka wyrazu określającego nazwę przedmiotów przynależnych do liczonego zbioru np. „cztery jelenie" jako jedno pojęcie, gdyż samo słowo „cztery" nic nie znaczyło.
Z biegiem czasu, gdy człowiek coraz bardziej był zainteresowany w określeniu ilości rozmaitych zbiorów przedmiotów, następowały zmiany w spostrzeżeniach. Pod wpływem tych zmian precyzowało się pojęcie liczby jako czegoś istniejącego niezależnie od zbioru przedmiotów. Zauważono, bowiem, że między ilością przedmiotów jednego zbioru a ilością przedmiotów drugiego zbioru zachodzi pewna odpowiedniość. Zrozumiano również, że niektóre ze zbiorów, nie mających między sobą żadnych cech wspólnych, można scharakteryzować wyłącznie za pomocą ilości ich elementów, jeśli tylko uda się odnaleźć dla każdego przedmiotu jednego zbioru odpowiednie przedmioty pozostałych zbiorów i odwrotnie. Wówczas to liczba, jako coś niezależnego od licznych przedmiotów stała się czymś, co zwróciło na siebie szczególną uwagę. Zainteresowano się nią bliżej i zaczęto badać jej własności.
Liczby naturalne 1,2,3,... są podstawą całej matematyki, czego wyrazem są słowa Leopolda Koneckera:
„Bóg stworzył liczby naturalne: wszystko inne jest dziełem człowieka". Liczby te konstruuje się bardzo prosto, za pomocą dodawania, a mianowicie l, 2=1+1, 3=1+1+1, 4=1+1+1+1,... tak, że jednym właściwym elementem „budującym" jest l.
Wprowadzając odejmowanie, dostajemy się w krąg liczb całkowitych ujemnych ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,....
Odnośnie mnożenia zbiór liczb całkowitych konstruuje się w bardziej złożony sposób, a mianowicie: punktem wyjścia, przy pomocy, którego konstruuje się mnożenie, jest nieskończony zbiór liczb całkowitych będących liczbami pierwszymi: 2,3,5,7,... . Liczby naturalne większe od l, powstają z ich mnożenia: 2, 3, 2x2, 5, 2x3, 7, 2x2x2, 3x3, 2x5,.... Aby za pomocą mnożenia otrzymać wszystkie liczby całkowite, trzeba jeszcze posłużyć się dwiema jedynkami: l, -l.

Z liczb całkowitych tworzymy liczby postaci—. Powstają one w wyniku n
dzielenia - nazywamy je liczbami wymiernymi.
Liczby całkowite i wymierne definiuje się najczęściej w sposób efektywny. Natomiast liczby naturalne i rzeczywiste zdefiniujemy w sposób aksjomatyczny. Metoda ta polega na wprowadzeniu liczb przy pomocy opisujących je i ich własności aksjomatów. Następnie trzeba wykazać, że aksjomaty te jednoznacznie wyznaczaj ą zbiór liczbowy. Ponieważ pokazanie tego wymaga dosyć zaawansowanego aparatu algebraicznego, więc w naszej pracy nie będziemy tego pokazywać.
Następnie trzeba skonstruować zbiór spełniający wprowadzone aksjomaty. Te liczby, które nie są skończonymi ułamkami dziesiętnymi, można rozwinąć w ułamki dziesiętne nieskończone mówimy wówczas o liczbach niewymiernych, które nazywamy liczbami rzeczywistymi.
Znanych jest kilka metod precyzyjnego opisu liczb rzeczywistych, a samą konstrukcję zbioru liczb rzeczywistych wprowadzimy dwoma metodami:
metodą Cantora i metodą Dedekinda.
Metoda aksjomatyczna tym się różni od pozostałych, że nie opisuje poszczególnych liczb rzeczywistych, lecz definiuje liczbę rzeczywistą na podstawie ich własności.
W metodzie Dedekinda liczby rzeczywiste określająjako przekroje zbioru liczb wymiernych. Z punktu widzenia filozoficznego definicja Dedekinda liczb niewymiernych jest w dość wysokim stopniu abstrakcyjna.
Bardziej konkretną metodę zawdzięczamy Cantorowi. W ujęciu Cantora liczby rzeczywiste są klasami abstrakcji ciągów Cauchye'go. Chociaż metoda na pierwszy rzut oka jest zupełnie różna od metody przekrojów, to obie są równoważne w tym znaczeniu, że systemy liczb definiowane tymi sposobami mają te same własności.
Z wielu względów również liczby rzeczywiste zostały rozszerzone po przez wprowadzenie liczb zespolonych.
W historycznym i psychologicznym rozwoju matematyki wszystkie te uogólnienia i nowe odkrycia nie były dziełem jednej osoby. Przyczyny wprowadzenia liczb ujemnych i wymiernych należy szukać w potrzebie większej swobody w rachunkach formalnych. Na koniec XIX wieku matematycy uświadomili sobie w pełni, że zasadnicza - logiczna i filozoficzna -podstawa operowania w rozszerzonej dziedzinie liczbowej ma charakter formalny.
Celem mojej pracy było pokazanie, w jaki sposób powstawały zbiory liczbowe, jak je tworzono i jakie posiadaj ą własności.

SPIS TREŚCI
WSTĘP
ROZDZIAŁ L PRELIMINARZA
1.1. Relacje.
ROZDZIAŁ II. LICZBY NATURALNE
2.1. Aksjomatyczne ujęcie liczb naturalnych. Zasada indukcji.
ROZDZIAŁ UL. LICZBY CAŁKOWITE I WYMIERNE
3.1. Konstrukcje liczb całkowitych.
3.2. Liczby wymierne.
3.3. Interpretacja geometryczna liczb wymiernych.
3.4. Wprowadzenie do liczby niewymiernej.
ROZDZIAŁ IV. KONSTRUKCJE LICZB RZECZYWISTYCH
4.1. Aksjomatyczna teoria liczb rzeczywistych.
4.2. Teoria Dedeidnda liczb rzeczywistych.
4.2.a. Przekroje Dedekinda.
4.2.b. Działania arytmetyczne na przekrojach.
4.3. Teoria Cantora liczb rzeczywistych.
4.3.a. Ciągi Cauchye'go.
4.3.b. Działania na liczbach rzeczywistych.
4.3.c. Zupełność przestrzeni liczb.
ROZDZIAŁ V. LICZBY ZESPOLONE
5.1. Pochodzenie liczb zespolonych.
5.2. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych.
BIBLIOGRAFIA
BIBLIOGRAFIA
COURANT R., ROBINS H., Co to jest matematyka ; PWN, Warszawa 1962.
FICHTENHOLZ G. M., Rachunek różniczkowy całkowy. Tom I, PWN, Warszawa 1963.
KURATOWSKI K., MOSTOWSKI A., Teoria mnogości, PWN, Warszawa 1978.
MAURIN K., Analiza - część I Elementy, PWN, Warszawa 1977.
MUSIELAKOWIE H. J., Analiza matematyczna. Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 1993.
NARKIEWICZ W., Teoria liczb, PWN, Warszawa 1977.
RASIOWA H., Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa 1979.
RUDIN W., Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1959.
SIERPIŃSKI W., Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa 1959.
SIWEK E., Analiza matematyczna część I, US, Katowice 1976.


Opracowała:
Emilia Fiuk
Zespół Szkół nr 3 w Lęborku

Umieść poniższy link na swojej stronie aby wzmocnić promocję tej jednostki oraz jej pozycjonowanie w wyszukiwarkach internetowych:

X


Zarejestruj się lub zaloguj,
aby mieć pełny dostęp
do serwisu edukacyjnego.




www.szkolnictwo.pl

e-mail: zmiany@szkolnictwo.pl
- największy w Polsce katalog szkół
- ponad 1 mln użytkowników miesięcznie




Nauczycielu! Bezpłatne, interaktywne lekcje i testy oraz prezentacje w PowerPoint`cie --> www.szkolnictwo.pl (w zakładce "Nauka").

Zaloguj się aby mieć dostęp do platformy edukacyjnej




Zachodniopomorskie Pomorskie Warmińsko-Mazurskie Podlaskie Mazowieckie Lubelskie Kujawsko-Pomorskie Wielkopolskie Lubuskie Łódzkie Świętokrzyskie Podkarpackie Małopolskie Śląskie Opolskie Dolnośląskie