Ogólne pojęcie błędu trudno jednoznacznie określić, jest ono porównywalne z takimi pojęciami, jak prawda czy fałsz. Dla nauczycieli interesujące jest przybliżenie pojęcia błędu odniesionego do małego wycinka naszej działalności, jakim jest uczenie się - nauczanie matematyki.
Błędy w procesie uczenia matematyki w gimnazjum
B. Russel określił kiedyś żartobliwie matematykę, jako naukę, w której nigdy nie wiadomo, o czym mówimy, i czy to, co mówimy, jest prawdą.
Ogólne pojęcie błędu trudno jednoznacznie określić, jest ono porównywalne z takimi pojęciami, jak prawda czy fałsz. Dla nauczycieli interesujące jest przybliżenie pojęcia błędu odniesionego do małego wycinka naszej działalności, jakim jest uczenie się – nauczanie matematyki.
W oparciu o wieloaspektowe typologie błędów różnych autorów, także na podstawie obserwacji praktyki można wymienić następujące typy błędów:
● w ogólnym aspekcie procesu nauczania i metod jego organizacji
można mówić o błędach matematycznych, dydaktycznych, psycholo –
gicznych, diagnostycznych, heurystycznych, prakseologicznych
● w aspekcie dziedzin wiedzy matematycznej – o błędach arytmety –
cznych, algebraicznych, geometrycznych
● w aspekcie metody matematycznej – o błędach definicji, twierdzeń,
dowodów, błędach obliczeniowych i logicznych
● w aspekcie czynności umysłowych pojawiających się w trakcie rozpa –
trywania określonego problemu – spotykamy błędy abstrahowania,
uogólniania, klasyfikowania, porównywania, porządkowania itp.
● w aspekcie hipotetycznych przyczyn – błędy spowodowane trudno –
ściami językowymi, brakiem wiedzy, niepoprawnymi skojarzeniami,
sztywnością myślenia itp.
● w aspekcie wykorzystania błędu w procesie uczenia – błędy kształcące
inspirujące i błędy obojętne
● w aspekcie częstości występowania – błędy przypadkowe i błędy syste
matyczne
● w aspekcie odtwarzania czy tworzenia reguł postępowania – błędy
patologiczne i błędy normalne
Zdarza się, że uczący podejmując świadomie określone działania popełnia jednocześnie kilka błędów. Na przykład: jeżeli nauczyciel wywołuje ucznia do odpowiedzi, a potem stawia pytanie, to raczej nie aktywizuje całej grupy i jeżeli konsekwencją staje się brak dyscypliny
w klasie to ów świadomy osąd jest błędem i dydaktycznym, i psychologicznym, i metodycznym, a także prakseologicznym, bo działania będą najprawdopodobniej nieskuteczne.
Nie jest to pełna lista możliwych aspektów pozwalających wyodrębnić różne grupy błędów, a proces nauczania – uczenia się matematyki niejednokrotnie wymaga przezwyciężenia różnych sprzeczności, które sprzyjają powstawaniu błędów.
Zdzisława Dybiec, w pracy poświęconej analizie błędów w procesie nauczania matematyki ustaliła następujące grupy przyczyn powstawania błędów:
■ styl nauczania
■ wzmocnienie tendencji algorytmicznych
■ języki opisów ; sugestie płynące z wizualizacji problemu
■ kontekst pojawienia się problemu
■ przeciążenie informacyjne
■ słabo wyćwiczone sprawności regulacyjne
W praktyce uczenia wyraźnie zauważa się szczególne zagęszczanie się błędów przy przechodzeniu z jednej rzeczywistości matematycznej do nowej np.: od liczb naturalnych do ułamków, od rachunku arytmetycznego do rachunku algebraicznego itd.
Wiąże się to z przekraczaniem progów pojęciowych mniej lub bardziej skomplikowanych i jest zjawiskiem naturalnym. Niebezpiecznymi stają się wówczas, gdy się utrwalają.
Jako pierwszą z przyczyn powstawania błędów wymieniono styl nauczania. Przez styl nauczania w przybliżeniu należy rozumieć pewien jednorodny sposób organizowania czynności poznawczych uczniów. Organizacja ta charakteryzuje się względnie stałą strukturą i bardziej dotyczy formy niż treści. Zewnętrznym wyróżnikiem stylu nauczania jest relatywnie stała częstość pojawiania się zachowań poznawczych określonego rodzaju. Współdeterminowany jest celami nauczania, temperamentem nauczającego i wymaganiami sytuacji. Kształtuje go zatem szeroki układ różnych preferencji, typowy dla danego uczącego.
Powszechny jest pogląd, że w nauczaniu matematyki ważniejsze jest rozwijanie różnych aktywności umysłu niż wyuczenie teorii matematycznych. W praktyce ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie jednego twierdzenia wieloma sposobami. Z drugiej strony ta wielość staje się czasem przyczyną niepowodzeń. Uczeń zaczyna rozwiązywać zadanie pewną metodą, napotyka na trudność i wtedy szybko rezygnuje. przypomina sobie, że podobne zadanie rozwiązywało się również innymi sposobami Uruchamia metodę, a gdy znów pojawią się trudności, porzuca ją.Ma się wrażenie jakby wiedza o wielości przeszkadzała w doprowadzeniu do końca choćby jednego rozumowania. Obserwuje się to w szczególności u uczniów o nadmiernej wrażliwości zachowań.
Na przykład uczeń klasy trzeciej miał rozwiązać zadanie:
Oblicz pole trójkąta równoramiennego, którego podstawa ma długość cztery pomnożone przez pierwiastek z dwóch centymetra, a kąt przy tej podstawie ma miarę 60 stopni.
Na początku wykonał rysunek i zaczął obliczenia, zastosował właściwy wzór pozwalający obliczyć wysokość trójkąta równobocznego, prawidłowo podstawił dane liczbowe, niestety po wymnożeniu pod pierwiastkiem znalazła się liczba 5. Otrzymaną wartość podstawił do wzoru na pole trójkąta równobocznego i porównał wynik z wynikiem kolegi – były różne.
Postanowił więc wykorzystać do obliczeń funkcje trygonometryczne, w tym przypadku mnożenie pierwiastków wykonał prawidłowo, jednak obliczenia zakończył na tym etapie, bo przypomniał sobie, że podobne zadania rozwiązywał również korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Zapisał więc, że połowa podstawy do kwadratu dodać kwadrat wysokości jest równe kwadratowi długości podstawy i kolejny raz popełnił błąd działając na pierwiastkach, a czas przeznaczony na rozwiązanie zadania minął.
Mimo wszystko jednak, nie należy rezygnować ze stosowania kilku metod do rozwiązywania problemów, gdyż oznaczało by to pozbawienie podstawowych wartości kształcących dla matematyki i przez matematykę. Ważnym warunkiem tego, aby czynnościowe schematy nie przeradzały się w mechaniczne, sztywne recepty, jest stałe uświadamianie uczniom różnych sposobów postępowania prowadzących do tego samego celu, zapoznanie uczniów ze „ strefą wyboru” najbardziej odpowiedniej i ekonomicznej drogi wiodącej do rozwiązania zagadnienia np.:
uczniowie klasy pierwszej porównując dwa ułamki mechanicznie zabiorą się natychmiast do szukania wspólnego mianownika, zamiast od początku rozstrzygnąć w sposób właściwy, co się bardziej opłaca: sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika czy do wspólnego licznika.
Skomplikowaną sytuacją bywa kolizja stylu nauczania z wewnętrzną logiką ucznia. Na wstępie geometrii spotykamy się z takimi definicjami prostej i półprostej:
- prosta jest z obu stron nieograniczona
- prosta rozciąga się w obie strony nieograniczenie
- prostą można przedłużyć w obie strony
- półprosta jest z jednej strony nieograniczona, z drugiej ograniczona
- półprosta ma początek, ale nie ma końca
Co to znaczy w tym kontekście z punktu widzenia matematyki
„ ograniczona” i „ nieograniczona „ ? Pomieszano tu różne intuicje bez ich analizy: własności porządku naturalnego w prostej ( po każdym punkcie następuje jeszcze jeden punkt, każdy punkt jest poprzedzony przez jeszcze jeden punkt), własności topologiczne ( otwartość prostej, nieotwartość prostej – jako zbiorów liniowych ), własności metryczne
( mając dany punkt w prostej można w niej wyznaczyć dokładnie dwa różne punkty oddalone „ dowolnie „ od danego punktu).
Sposób, w jaki te własności już od początku się uczniowi sugeruje gestem ręki, kombinacją rysunku i jego uzupełnieniem w wyobraźni mówiąc „ tam i tam ta linia ciągnie się nieograniczenie” jest niewłaściwy . Jak wyobrazić ma sobie uczeń , że widzi to , że coś nie ma końca.
Zdarza się również, że sztywne schematy uczenia krepują myśli ucznia.
W klasie pierwszej uczeń miał rozwiązać zadanie :
Obwód kwadratu jest równy 16 cm. Jeden bok tego kwadratu zwiększono o 5%, a drugi zmniejszono o 10% i otrzymano prostokąt. Oblicz pole kwadratu i prostokąta. Jakim procentem pola kwadratu jest pole prostokąta?
Uczeń zaczyna rozwiązanie od obliczenia długości boku kwadratu , ustalił, że wynosi ona 4 cm, ale przypomniał sobie również, że podobne zadanie rozwiązywano w klasie przekształcając wzór:
ob = 4a
nie posiadając jeszcze w pełni opanowanej umiejętności rozwiązywania równań pisze:
ob = 4 •16
ob = 16 = 4 • 4 itp.
próbując dopasować swoją logikę do sposobu wykorzystanego na lekcji.
Ważne jest zatem, aby pomimo narzuconej uczniowi dyscypliny wobec przyjętych zachowań w określonych sytuacjach dydaktycznych zachować pewną elastyczność.
Naturalnym dążeniem każdego człowieka podejmującego jakąkolwiek działalność jest stworzenie gotowego„ przepisu „ na wykonanie zadania, minimalizującego wysiłek. W nauczaniu matematyki przejawia się to min. poszukiwaniem dobrych algorytmów do rozwiązywania danych problemów. Większość uczniów chce usłyszeć jak wykonać określone
zadanie, lecz nie są zainteresowani uzasadnieniem dlaczego takie postępowanie jest właściwe. W pierwszej klasie gimnazjum mówiąc o zależności pomiędzy miarą kąta środkowego i wpisanego opartych na tym samym łuku, przeprowadzam bardzo prosty dowód tego twierdzenia zaznaczając, że nie będę wymagała, umiejętności dowodzenia na ocenę. Reakcja większości uczniów jest taka sama: „ To po co nam to?” Stosowanie algorytmu jest przecież znacznie łatwiejsze niż rozstrzygnięcia pojęciowe. Niesie jednak ze sobą również ryzyko popełniania błędów. W klasie drugiej wprowadza się pojęcia: proporcjonalności prostej i odwrotnej. Uczniowie bardzo szybko opanowują technikę budowania proporcji i rozwiązywanie zadań nie stwarza problemów tak długo, jak długo zadania z proporcjonalnością prostą i odwrotną rozwiązuje się na oddzielnych jednostkach lekcyjnych. Kiedy jednak należy rozpoznać typ zależności pojawiają się rozwiązania:
16 h - 250 km 16 h - x
5 h - x lub 5 h - 250 km
i to nauczyciel ma wybrać poprawne rozwiązanie.
Specyficzne problemy dydaktyki matematyki wiążą się ze złożonością matematycznego języka będącego szczególną kombinacją elementów werbalnych i symbolicznych, przy czym te ostatnie różnicują się jeszcze na znaki literowe lub inne i rysunki ( np. grafy ). Do nauczania matematyki w szkole włączać więc musimy naukę o tworzeniu i właściwej formie symbolu matematycznego i racjonalnym używaniu. Każdy nowo wprowadzony znak winien być przedmiotem szczególnie wnikliwej uwagi nauczyciela, należy od początku dbać o to, aby uczeń go właściwie używał. Na przykład interpretację wyrażenia algebraicznego trzeba wiązać z bardzo wyraźnie sformułowanymi regułami odczytywania kolejności działań w nim występujących . Zatem a2 + b2 jest sumą kwadratów , ale ( a + b )2 jest kwadratem sumy ,
( a + b ) •c jest iloczynem sumy a + b przez liczbę c, ale a + b.• c jest sumą liczby a i iloczynu liczb b i c.
Przyczyną błędów, może być nazwa pojęcia np. pierwiastek, raz rozumiana jako pierwiastek z liczby nieujemnej w połączeniu z bardzo konkretnym symbolem, raz jako liczbą będąca rozwiązaniem równania. Podręcznikowym przykładem nieporozumień mogących prowadzić do powstania błędu jest problem pola powierzchni całkowitej bryły . Wycinając siatkę figury z papieru milimetrowego, co dociekliwsi uczniowie zauważają, że siatka ma pole „ z obu stron” i gładkie i w kratkę Dopiero obserwacja wypełnionego modelu np. drewnianego klocka rozwiązuje problem.
W praktyce szkolnej jest dość mała świadomość rozróżniania obiektu myślowego od obiektu fizycznego, jakim jest rysunek. Naturalnym, a czasem niezbędnym, jest wspieranie myśli rysunkiem, ale niebezpiecznym jest jakiekolwiek identyfikowanie bądź zastępowanie jednego drugim. Nauczanie sprzyja tworzeniu określonych wyobrażeń np. trójkąta jako materialnej figury trójkątnej, sześcianu jako fizycznego modelu bryły, paraboli jako rysunku krzywej określonego kształtu, i to nie jest błędem. Niemniej jednak rodzi podstawy -„ to widać z rysunku „ , które mogą być sporymi przeszkodami w kształtowaniu myśli matematycznej wymagającej myślowych uzasadnień. Żaden przedmiot nie jest absolutnym modelem tylko jednego pojęcia geometrycznego, żadne pojęcie geometryczne nie jest dokładnym odbiciem w naszym umyśle rzeczywistego przedmiotu. Zofia Krygowska w „ Zarysie dydaktyki matematyki „ przytacza następujący przykład:
Rurociąg prowadzi z miasta A do miasta B. Czym będzie dla:
a) pracowników, którzy go budują ( bryła )
b) pracowników którzy powlekają go farbą ( powierzchnia )
c) inżyniera, który zaznacza jego drogę na mapie ? ( linia )
Rozważmy inny, bardzo prosty przykład trudności znany każdemu nauczycielowi. Nasza przestrzeń fizyczna – przestrzeń na Ziemi – nie jest jednoznaczna. Wyróżniane są na niej obiektywnie: jeden kierunek szczególny - pion i poziome kierunki doń prostopadłe w danym punkcie ziemi. Podobnie „ przestrzeń graficzna „ , w której uczeń przedstawia figury rysunkiem, a więc kartka jego zeszytu nie jest jednorodna : wyróżnione są tu kierunki wyznaczone brzegami kartki. Przestrzeń euklidesowa w sensie matematycznym jest jednorodna, żaden kierunek nie jest uprzywilejowany. Wynikają stąd różne nieporozumienia. Zdarza się, że uczeń „ widzi „ tylko jedną wysokość w trójkącie, którego jeden bok jest narysowany równolegle do krótszego boku kartki lub „ poziomy” na tablicy.
Kształcenie poprawnego języka matematycznego ucznia jest równocześnie kształceniem jego poprawnego rozumowania. Na pytanie:
- Czy największa liczba dwucyfrowa jest jednocyfrowa?
uczniowie odpowiedzą najpewniej: Nie rozumiem o co chodzi.
Czy dlatego, że użyte są w nim dwa znaczenia słowa cyfra ?
A przecież słowo cyfra ma w matematyce dwa znaczenia.
▪ cyfra – znak służący do zapisu liczb
▪ liczba wielocyfrowa - liczba , której nie możemy zapisać za pomocą
jednego znaku , ale którą możemy zapisać używając tylko jednej cyfry
np. 1111
Jeżeli postawimy problem:
Przy pomocy 5 i 2 zapisz liczbę 25 , to musimy zaakceptować dwa rozwiązania:
1. 2 do potęgi 5
2. 5 do potęgi 2
gdyż w treści zadania nie sprecyzowaliśmy czy chodzi o cyfry 2 i 5 czy o liczby 2 i 5.
W pierwszym przypadku prawidłowym rozwiązaniem jest 2 do 5 , 5 do 2 nie jest.
W drugim dobre jest 5 do 2 zaś 2 do 5 nie.
Czasami jednak przyjmujemy pewne wyrażenia jako wyrażenia idiomatyczne, czyli przyjęte ogólnie i akceptowane zwroty, tak jak to czynią w takich przypadkach lingwiści. Dotyczy to np. twierdzenia o podzielności liczb przez 3. Występuje w nim określenie: suma cyfr jest podzielna przez 3. Dla wszystkich to twierdzenie jest zrozumiałe i przejrzyste, choć z matematycznego punktu widzenia, nie jest poprawne, gdyż sumowanie odnosi się do liczb, a nie do cyfr.
W każdym ludzkim poznawaniu dużą rolę odgrywają konteksty, często nadają znaczenie wyrazom, zdaniom i ukierunkowują ich rozumienie. Dlatego zdarza się, że sposób rozwiązywania problemu zależy od aktualnych okoliczności oraz od uprzednich, niedawnych doświadczeń. Doceniając pozytywną rolę kontekstu w procesie poznawania matematycznego, należy pamiętać o jego negatywnym wpływie, blokującym wybór stosownej dla danego problemu strategii rozwiązania. Kontekst pojawienia się problemu czy zadania wzmacnia przekonanie ucznia, że wybrana przez niego metoda musi być skuteczna, mimo ewidentnych niepowodzeń po kilku próbach jej stosowania. Uczniowie klasy trzeciej, na zajęciach poświęconych rozwiązywaniu zadań tekstowych ze zbioru „ Egzamin do szkoły średniej” pod redakcją
E. Skłodowskiego, samodzielnie rozwiązywali zadanie:
Suma trzech liczb naturalnych jest równa 210. Jakie to liczby, jeżeli wiadomo, że druga liczba stanowi pierwszej, a trzecia jest średnią arytmetyczną pierwszej i drugiej?
Pomimo, że dość oczywistym wydaje się fakt, iż to zadanie najłatwiej rozwiązać układając równanie, uczniowie z uporem próbowali budować układ dwóch równań liniowych ponieważ wymagało tego rozwiązanie kilku poprzednich zadań. Zdumiewająca jest siła dostosowywania bliskich okoliczności do następujących niedługo po nich. Mimo braku sukcesu uczeń ” kurczowo trzyma się „ niedawno poznanych metod i za wszelką cenę chce je wykorzystać.
Przeciążenia informacyjne należą do bardziej ogólnych niż poprzednie przyczyn powstawania błędów i nie zawsze są wyraźnie zaznaczone w procesie nauczania-uczenia się. Każda czynność poznawcza, by mogła zaistnieć wymaga spełnienia pewnego minimum warunków. Bogactwo działających tu czynników natury dydaktycznej, merytorycznej, organizacyjnej a także psychologicznej sprawia, że zlokalizowanie przyczyn konkretnych błędów w tych obszarach jest szczególnie trudne. Na przykład: duża liczba zadań do rozwiązania w pracy klasowej powoduje powstanie znacznie większej liczby błędów niż umiarkowanie dobrana. Podobne skutki powoduje zbyt szybkie tempo realizacji określonych zagadnień i częste ich zmiany czy też zbyt duża liczba wskazówek. Na wysiłek poznawczy uczniów wpływają negatywnie różne ich przekonania obniżające sprawność myśli – „ to nie dla mnie „ ,
„ zawsze mylę się przy mnożeniu” albo „ zadanie z gwiazdką jest dla mnie za trudne”. Kształtuje je nie tylko struktura doświadczenia indywidualnego, ale także cały szereg mitów, obecnych w szkole. Uczniowie klasy drugiej na zajęciach utrwalających działania na wyrażeniach algebraicznych samodzielnie rozwiązywali zadanie
” z gwiazdką „:
Za pomocą wyrażeń algebraicznych zapisz wzór na liczbę dwucyfrową i liczbę utworzoną z przestawienia jej cyfr. Wykaż, że różnica tych liczb jest podzielna przez 9.
Uczniowie potrafili zapisać w postaci wyrażenia algebraicznego liczbę dwucyfrową i liczbę powstałą z przestawienia jej cyfr, potrafili zapisać różnicę liczb, a mimo to niektórzy nawet nie próbowali rozwiązać zadania. Zrezygnowali na widok „ gwiazdki „ . Po wspólnym omówieniu sposobu rozwiązania ze zdziwieniem stwierdzili, że bez problemów potrafią rozwiązać kolejne podobne zadanie także oznaczone„ gwiazdką”
Ostatnią z analizowanych przyczyn powstawania błędów są słabo wyćwiczone sprawności regulacyjne. Wcześniej poruszony został problem przeciążeń i obciążeń, tu brak odpowiedniego wyćwiczenia czynności decyzyjnych i kontrolnych czyli planowania, monitorowania i podejmowania decyzji w toku realizacji dowolnego zadania. Ważną rolę odgrywa tu min. wybór kodów informacji. W procesie uczenia się matematyki każdy nabywa określonych preferencji do różnych oznaczeń, symboli, graficznych ilustracji itp., które nie zawsze umie dostosować
z jednej sytuacji do innej np.: uczeń pierwszej klasy poznając rodzaje równań i sposoby ich rozwiązywania zapisywał równanie 2a +5 = 6( a – 4 ) następująco 2x + 5 = 6 ( x – 4 ) ponieważ „ tak było mu łatwiej je rozwiązać . Takie postępowanie wskazuje na brak elastyczności w interpretacji ustalonych zwyczajem nauczania kodów.
Myślenie matematyczne nie jest bierną kontemplacją danej nam a priori sytuacji, jest bardzo wyraźną aktywnością, systemem jasno określonych czynności. Słuszne jest więc stwierdzenie „ matematyka – to w mniejszym stopniu wiedzieć, co umieć działać „ Odwracalne i wiążące się w systemy czynnościami myśli Piaget nazywa operacjami. Działanie w myśli, jednokierunkowe tylko, nieodwracalne nie jest jeszcze operacją . Podobnie działanie izolowane od innych nie jest operacją. Jeżeli np.: przyswoiliśmy uczniowi wzór ( a + b )2 = a2+2ab+b2
tylko w ten sposób, że potrafi on przejść od strony lewej równości do prawej, ale nie na odwrót - w wyrażeniu a2 + 2ab + b2 nie dostrzega wyrażenia ( a + b )2 , to przyswoiliśmy mu jednokierunkowy nawyk, ale nie operację. Nie wyćwiczone procesy podejmowania decyzji poznawczych, nie wyćwiczone sprawności obiektywnej interpretacji własnych czynności, nie wyrobione umiejętności świadomego przemieszczania uwagi, brak elastycznej reakcji na informacje zwrotne czyli nie wyćwiczone procesy regulacyjne mogą prowadzić do rozmaitych błędów matematycznie istotnych.
Innym rodzajem popełnianych błędów są błędy polegające na linearnym ( analogicznym ) przetwarzaniu krok po kroku, analogicznie do... . Uczniowie popełniają ten błąd np. dzieląc kąt ostry w trójkącie prostokątnym na połowę w ten sposób, że dzielą na połowę przyprostokątną leżącą naprzeciw tego kąta. Ten sam błąd liniowości popełnia uczeń, który dzieli dowolny kąt ostry na trzy równe części,
w ten sposób, że konstruuje trójkąt równoramienny o danym kącie rozwarcia, dzieli jego podstawę na trzy równe części i łączy punkty podziału z wierzchołkiem tego kąta lub uczeń, który zapisuje
( a + 1 )2 = a2 + 1 .
Problemom związanym z błędami w procesie uczenia matematyki poświęcono wiele badań i analiz. Nie ma pracy o uczeniu się i nauczaniu matematyki, która w taki czy inny sposób nie byłaby zorientowana na analizę błędów. Duże rozproszenie wyników, ich różnorodność, różne podstawy formułowania utrudniają ich objęcie.
Przedstawione opracowanie jest próbą syntetycznego spojrzenia na problematykę błędów popełnianych w procesie uczenia się i nauczania matematyki, popartego konkretnymi przykładami mogącymi pomóc w lepszym rozumieniu tych zagadnień w teorii i praktyce nauczania.
Bernadeta Bech
Literatura
1. Ciosek M. , 1992 , Błędy popełniane przez uczących się matematyki i ich hipotetyczne przyczyny ,
„ Dydaktyka Matematyki „ 3 , PWN , Warszawa
2. Dybiec Z. , 1996 , Błędy w procesie uczenia matematyki , Nakładem Uniwersytetu
Jagiellońskiego , Kraków
3. Krygowska Z. 1998 , Zrozumieć błąd w matematyce , „ Dydaktyka Matematyki „ 10 ,
PWN , Warszawa
4. Mostowski Krzysztof , 1997 , Interakcja teorii i praktyki nauczania matematyki . Matematyka a
język , WSP Rzeszów
