Startuj z nami!

www.szkolnictwo.pl

praca, nauka, rozrywka....

mapa polskich szkół
Nauka Nauka
Uczelnie Uczelnie
Mój profil / Znajomi Mój profil/Znajomi
Poczta Poczta/Dokumenty
Przewodnik Przewodnik
Nauka Konkurs
uczelnie

zamów reklamę
zobacz szczegóły
uczelnie

Nie znaleziono szukanej frazy! Poniżej znajduje się fraza najbardziej przypominająca szukaną.

Pierwiastkowanie

Pierwiastkowanie

Pierwiastkowanie – w matematyce operacja odwrotna względem potęgowania . Ponieważ często istnieje wiele liczb (tzw. pierwiastki algebraiczne), które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę, to pierwiastkowanie nie może być w ogólności nazwane działaniem ; często można jednak ograniczyć dziedzinę działania potęgowania tak, by możliwe było jego odwrócenie (dając tzw. pierwiastki arytmetyczne).

Pierwiastki są szczególnie istotne w teorii szeregów , gdzie kryterium Cauchy'ego (pierwiastkowe) służy wyznaczaniu promienia zbieżności szeregu potęgowego . Pierwiastki można też zdefiniować dla liczb zespolonych ; warto nadmienić, iż pierwiastki zespolone z jedynki odgrywają istotną rolę w matematyce wyższej. Duża część teorii Galois skupia się na wskazaniu, które z liczb algebraicznych można przedstawić za pomocą pierwiastków, co prowadzi do znanego twierdzenia Abela-Ruffiniego mówiącego, iż ogólny wielomian stopnia piątego bądź wyższego nie może być rozwiązany za pomocą tzw. pierwiastników , tzn. wyrażeń połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz pierwiastków.

Historia

Początki symbolu pierwiastka √ są dość niejasne. Niektóre źródła[] podają, że symbol został wprowadzony przez Arabów , a po raz pierwszy został on użyty przez Abū al-Hasana ibn Alīego al-Qalasādīego (1421-1486) i został wyprowadzony z arabskiej litery ج, pierwszej litery słowa Jadhir (gdzie „dh” oznacza międzyzębową dźwięczną spółgłoskę szczelinową , odpowiednik angielskiego „th” w wyrazie the) oznaczającego „korzeń”.

Wielu, w tym Leonhard Euler [1] wierzy, że pochodzi on od litery r, pierwszej litery łacińskiego słowa radix, które oznacza to samo działanie matematyczne . Symbolu użyto po raz pierwszy w druku bez vinculum (poziomej kreski nad liczbami wewnątrz symbolu pierwiastka) w 1525 roku w Die Coss autorstwa niemieckiego matematyka Christoffa Rudolffa.

Termin surd pochodzi z czasów al-Khwārizmīego (ok. 825), który liczby wymierne i niewymierne nazywał odpowiednio „słyszalnymi” i „niesłyszalnymi”. W związku z tym arabskie „assam” (głuchy, głupi) oznaczające liczbę niewymierną było później tłumaczone na łacinę jako surdus („głuchoniemy”). Gerard z Cremony (ok. 1150), Fibonacci (1202), a potem Robert Recorde (1551) używali tego terminu w odniesieniu do nierozwiązanych pierwiastków niewymiernych[2].

Definicja

Niech dana będzie dodatnia liczba całkowita n nazywana stopniem. Pierwiastkiem z liczby x stopnia n nazywa się taką liczbę r, która podniesiona do n-tej potęgi jest równa x; innymi słowy jest to dowolna liczba r spełniająca równość

rn = x.

Pierwiastek w powyższym sensie nazywa się często pierwiastkiem algebraicznym; każda dodatnia liczba rzeczywista ma jeden dodatni pierwiastek n-tego stopnia, nazywany często pierwiastkiem arytmetycznym. Pierwiastkiem n-tego stopnia z zera jest 0. W ten sposób każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przypisana zostaje nieujemna liczba rzeczywista, co umożliwia określenie działania pierwiastkowania w zbiorze nieujemnych liczb rzeczywistych.

Dla nieparzystych n każda ujemna liczba ma ujemny pierwiastek rzeczywisty n-tego stopnia (również nazywany pierwiastkiem arytmetycznym), choć nie jest to prawdą dla parzystych n.

Pierwiastek stopnia 2 nazywa się pierwiastkiem kwadratowym , zaś stopnia 3 – pierwiastkiem sześciennym ; pierwiastki wyższych stopni identyfikuje się wyłącznie liczbowo, np. „pierwiastek czwartego stopnia”.

Pierwiastki zapisuje się zwykle za pomocą symbolu \sqrt{\ }, pierwiastkom stopnia drugiego, trzeciego, czwartego itd. z liczby x odpowiadają kolejno symbole \sqrt x, \sqrt[3]x, \sqrt[4]x itp. (zwyczajowo pomija się w zapisie stopień pierwiastka kwadratowego). Notacja ta nie budzi zastrzeżeń w stosunku do pierwiastków arytmetycznych, nie mniej może prowadzić do sprzeczności w przypadku pierwiastków algebraicznych, dla których symbole te nie są jednoznaczne.

Przykłady i własności

Liczba 2 jest pierwiastkiem czwartego stopnia z 16, gdyż 24 = 16. Jest to jedyna dodatnia liczba rzeczywista o tej własności i to właśnie ona nazywana jest pierwiastkiem arytmetycznym; innym pierwiastkiem rzeczywistym tej liczby jest − 2; istnieją także dwa nierzeczywiste pierwiastki tej liczby, które wraz z 2 oraz − 2 są pierwiastkami algebraicznymi 4-tego stopnia z 16.

Przykładem pierwiastka z liczby ujemnej może być liczba − 2, która ma rzeczywisty pierwiastek piątego stopnia, \sqrt[5]{-2} = -1{,}148698354\dots, lecz nie ma żadnych rzeczywistych pierwiastków szóstego stopnia.

Większość liczb ma niewymierne pierwiastki, przykładowo

\sqrt{2} = 1{,}414213562\dots

Mimo wszystko wszystkie pierwiastki liczb całkowitych, a nawet liczb algebraicznych , są algebraiczne.

Jeżeli x,y są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś n,m są dodatnimi liczbami całkowitymi, to:

  • \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n] x \sqrt[n] y,
  • \sqrt[n]{x/y} = \frac{\sqrt[n] x}{\sqrt[n] y} dla y \ne 0.

W analizie matematycznej pierwiastki traktuje się jako przypadki szczególne potęgowania o wykładniku będącym ułamkiem , tzn.

\sqrt[n] x = x^{1/n},

stąd prawdziwe są również następujące równości:

  • \sqrt[n] {x^m} = \left(\sqrt[n] x\right)^m = \left(x^{1/n}\right)^m = x^{m/n}.

Ze wzorów skróconego mnożenia wynikają wzory:

  • \sqrt x + \sqrt y = \sqrt{x + y + 2\sqrt{xy}},
  • \left|\sqrt x - \sqrt y\right| = \sqrt{x + y - 2\sqrt{xy}},
  • \sqrt[3] a + \sqrt[3] b = \frac{a + b}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}.

Pierwiastek można również wyrazić w postaci szeregu :

(1 + x)^{s/t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{n-1} (s - kt)}{n!t^n} x^n,

o ile | x | < 1. Wyrażenie to można wyprowadzić z szeregu dwumiennego.

Pierwiastek zespolony

Dla dodatniej liczby całkowitej n pierwiastkiem (algebraicznym) stopnia n z liczby zespolonej x nazywa się dowolną liczbę r spełniającą równość

rn = x.

Każda niezerowa liczba zespolona (a więc i rzeczywista) x ma n różnych zespolonych pierwiastków n-tego stopnia; szczególnie istotne są szeroko stosowane w matematyce pierwiastki z jedynki.

Pierwiastki z liczby zespolonej z można wyznaczyć korzystając ze wzoru de Moivre'a:

z_k = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos \tfrac{\psi + 2k\pi}{n} + i\sin \tfrac{\psi + 2k\pi}{n}\right),

dla k = 0, 1, 2, \dots, n-1 (powyższy symbol pierwiastka oznacza pierwiastek arytmetyczny).

Przykładowo dla liczby z = − 4 jest | z | = 4, a ponadto \operatorname{Arg}\; z = \pi,, a więc w postaci biegunowej ma ona postać z = 4(cosπ + isinπ).

Pierwiastkami drugiego stopnia z z są:

z_0 = 2 \left(\cos \tfrac{\pi}{2} + i\sin \tfrac{\pi}{2}\right) = 2i,
z_1 = 2 \left(\cos \tfrac{-\pi}{2} + i\sin \tfrac{-\pi}{2}\right) = -2i.

Typografia

Niżej przedstawiono kody znaków symboli pierwiastka:

ZnakNazwa polska[3] Unikod Nazwa unikodowa ASCII URL HTML (inne)
pierwiastek kwadratowyU+221ASQUARE ROOT&#8730;%E2%88%9A&radic;
pierwiastek sześciennyU+221BCUBE ROOT&#8731;%E2%88%9B
pierwiastek czwartego stopniaU+221CFOURTH ROOT&#8732;%E2%88%9C
kreska wiążąca górnaU+203EOVERLINE
kreska wiążąca górna dostawnaU+0305COMBINING OVERLINE

W LaTeX-u :

  • pierwiastek \sqrt x zapisywany jest jako \sqrt x;
  • pierwiastek \sqrt[k] x zapisywany jest jako \sqrt[k] x.

Zobacz też

Przypisy

  1. Leonhard Euler: Institutiones calculi differentialis. 1755.  ( łac. )
  2. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics . [dostęp 2008-11-30].
  3. Nazwy polskie zaczerpnięte lub utworzone na podstawie Robert Bringhurst, Elementarz stylu w typografii (Załącznik A), Design Plus, Kraków 2007.


Inne hasła zawierające informacje o "Pierwiastkowanie":

Liczby zespolone Równość1.3 Działania2 Płaszczyzna zespolona2.1 Moduł2.2 Argument2.3 Postać trygonometryczna2.4 Mnożenie3 Wzór de Moivre'a3.1 Pierwiastkowanie4 Postać wykładnicza5 Sprzężenie6 Relacja porządku7 Przykłady8 Konstrukcje i własności8.1 Konstrukcja Hamiltona8.2 ...

Funkcja kwadratowa ...

Funkcje trygonometryczne ...

Wyrażenie algebraiczne ...

Pierwiastkowanie Spis treści1 Historia2 Definicja3 Przykłady i własności4 Pierwiastek zespolony5 Typografia6 Zobacz też7 PrzypisyPierwiastkowanie – w matematyce operacja odwrotna względem potęgowania . Ponieważ często istnieje wiele ...

Pierwiastek ...

Pierwiastek ...


Inne lekcje zawierające informacje o "Pierwiastkowanie":

Działania na liczbach wymiernych (plansza 4) kolejności: 1. Działania w nawiasach - zaczynamy od „najmniejszych” czyli (…). 2. Potęgowanie i Pierwiastkowanie. 3. Mnożenie i dzielenie. 4. Dodawanie i odejmowanie. W podpunkcie 3 i 4 działania ...

Pierwiastki (plansza 3) ...





Zachodniopomorskie Pomorskie Warmińsko-Mazurskie Podlaskie Mazowieckie Lubelskie Kujawsko-Pomorskie Wielkopolskie Lubuskie Łódzkie Świętokrzyskie Podkarpackie Małopolskie Śląskie Opolskie Dolnośląskie