Pierwiastkowanie – w matematyce operacja odwrotna względem potęgowania . Ponieważ często istnieje wiele liczb (tzw. pierwiastki algebraiczne), które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę, to pierwiastkowanie nie może być w ogólności nazwane działaniem ; często można jednak ograniczyć dziedzinę działania potęgowania tak, by możliwe było jego odwrócenie (dając tzw. pierwiastki arytmetyczne).

Pierwiastki są szczególnie istotne w teorii szeregów , gdzie kryterium Cauchy'ego (pierwiastkowe) służy wyznaczaniu promienia zbieżności szeregu potęgowego . Pierwiastki można też zdefiniować dla liczb zespolonych ; warto nadmienić, iż pierwiastki zespolone z jedynki odgrywają istotną rolę w matematyce wyższej. Duża część teorii Galois skupia się na wskazaniu, które z liczb algebraicznych można przedstawić za pomocą pierwiastków, co prowadzi do znanego twierdzenia Abela-Ruffiniego mówiącego, iż ogólny wielomian stopnia piątego bądź wyższego nie może być rozwiązany za pomocą tzw. pierwiastników , tzn. wyrażeń połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz pierwiastków.

Historia

Początki symbolu pierwiastka √ są dość niejasne. Niektóre źródła^[] podają, że symbol został wprowadzony przez Arabów , a po raz pierwszy został on użyty przez Abū al-Hasana ibn Alīego al-Qalasādīego (1421-1486) i został wyprowadzony z arabskiej litery ج, pierwszej litery słowa Jadhir (gdzie „dh” oznacza międzyzębową dźwięczną spółgłoskę szczelinową , odpowiednik angielskiego „th” w wyrazie the) oznaczającego „korzeń”.

Wielu, w tym Leonhard Euler ^[1] wierzy, że pochodzi on od litery r, pierwszej litery łacińskiego słowa radix, które oznacza to samo działanie matematyczne . Symbolu użyto po raz pierwszy w druku bez vinculum (poziomej kreski nad liczbami wewnątrz symbolu pierwiastka) w 1525 roku w Die Coss autorstwa niemieckiego matematyka Christoffa Rudolffa.

Termin surd pochodzi z czasów al-Khwārizmīego (ok. 825), który liczby wymierne i niewymierne nazywał odpowiednio „słyszalnymi” i „niesłyszalnymi”. W związku z tym arabskie „assam” (głuchy, głupi) oznaczające liczbę niewymierną było później tłumaczone na łacinę jako surdus („głuchoniemy”). Gerard z Cremony (ok. 1150), Fibonacci (1202), a potem Robert Recorde (1551) używali tego terminu w odniesieniu do nierozwiązanych pierwiastków niewymiernych^[2].

Definicja

Niech dana będzie dodatnia liczba całkowita n nazywana stopniem. Pierwiastkiem z liczby x stopnia n nazywa się taką liczbę r, która podniesiona do n-tej potęgi jest równa x; innymi słowy jest to dowolna liczba r spełniająca równość

rⁿ = x.

Pierwiastek w powyższym sensie nazywa się często pierwiastkiem algebraicznym; każda dodatnia liczba rzeczywista ma jeden dodatni pierwiastek n-tego stopnia, nazywany często pierwiastkiem arytmetycznym. Pierwiastkiem n-tego stopnia z zera jest 0. W ten sposób każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przypisana zostaje nieujemna liczba rzeczywista, co umożliwia określenie działania pierwiastkowania w zbiorze nieujemnych liczb rzeczywistych.

Dla nieparzystych n każda ujemna liczba ma ujemny pierwiastek rzeczywisty n-tego stopnia (również nazywany pierwiastkiem arytmetycznym), choć nie jest to prawdą dla parzystych n.

Pierwiastek stopnia 2 nazywa się pierwiastkiem kwadratowym , zaś stopnia 3 – pierwiastkiem sześciennym ; pierwiastki wyższych stopni identyfikuje się wyłącznie liczbowo, np. „pierwiastek czwartego stopnia”.

Pierwiastki zapisuje się zwykle za pomocą symbolu pierwiastkom stopnia drugiego, trzeciego, czwartego itd. z liczby x odpowiadają kolejno symbole itp. (zwyczajowo pomija się w zapisie stopień pierwiastka kwadratowego). Notacja ta nie budzi zastrzeżeń w stosunku do pierwiastków arytmetycznych, nie mniej może prowadzić do sprzeczności w przypadku pierwiastków algebraicznych, dla których symbole te nie są jednoznaczne.

Przykłady i własności

Liczba 2 jest pierwiastkiem czwartego stopnia z 16, gdyż 2⁴ = 16. Jest to jedyna dodatnia liczba rzeczywista o tej własności i to właśnie ona nazywana jest pierwiastkiem arytmetycznym; innym pierwiastkiem rzeczywistym tej liczby jest − 2; istnieją także dwa nierzeczywiste pierwiastki tej liczby, które wraz z 2 oraz − 2 są pierwiastkami algebraicznymi 4-tego stopnia z 16.

Przykładem pierwiastka z liczby ujemnej może być liczba − 2, która ma rzeczywisty pierwiastek piątego stopnia, lecz nie ma żadnych rzeczywistych pierwiastków szóstego stopnia.

Większość liczb ma niewymierne pierwiastki, przykładowo

Mimo wszystko wszystkie pierwiastki liczb całkowitych, a nawet liczb algebraicznych , są algebraiczne.

Jeżeli x,y są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś n,m są dodatnimi liczbami całkowitymi, to:

• 
• dla

W analizie matematycznej pierwiastki traktuje się jako przypadki szczególne potęgowania o wykładniku będącym ułamkiem , tzn.

stąd prawdziwe są również następujące równości:

Ze wzorów skróconego mnożenia wynikają wzory:

Pierwiastek można również wyrazić w postaci szeregu :

o ile | x | < 1. Wyrażenie to można wyprowadzić z szeregu dwumiennego.

Pierwiastek zespolony

Dla dodatniej liczby całkowitej n pierwiastkiem (algebraicznym) stopnia n z liczby zespolonej x nazywa się dowolną liczbę r spełniającą równość

rⁿ = x.

Każda niezerowa liczba zespolona (a więc i rzeczywista) x ma n różnych zespolonych pierwiastków n-tego stopnia; szczególnie istotne są szeroko stosowane w matematyce pierwiastki z jedynki.

Pierwiastki z liczby zespolonej z można wyznaczyć korzystając ze wzoru de Moivre'a:

,

dla (powyższy symbol pierwiastka oznacza pierwiastek arytmetyczny).

Przykładowo dla liczby z = − 4 jest | z | = 4, a ponadto , a więc w postaci biegunowej ma ona postać z = 4(cosπ + isinπ).

Pierwiastkami drugiego stopnia z z są:

Typografia

Niżej przedstawiono kody znaków symboli pierwiastka:

Znak	Nazwa polska[3]	Unikod	Nazwa unikodowa	ASCII	URL	HTML (inne)
√	pierwiastek kwadratowy	U+221A	SQUARE ROOT	√	%E2%88%9A	√
∛	pierwiastek sześcienny	U+221B	CUBE ROOT	∛	%E2%88%9B
∜	pierwiastek czwartego stopnia	U+221C	FOURTH ROOT	∜	%E2%88%9C
‾	kreska wiążąca górna	U+203E	OVERLINE
‾	kreska wiążąca górna dostawna	U+0305	COMBINING OVERLINE

W LaTeX-u :

• pierwiastek zapisywany jest jako \sqrt x;
• pierwiastek zapisywany jest jako \sqrt[k] x.

Zobacz też

• algorytm obliczania pierwiastka n-tego stopnia
• pierwiastek dwunastego stopnia z dwóch
• superpierwiastek

Przypisy