Pierwiastkowanie – w
matematyce
operacja odwrotna względem
potęgowania
. Ponieważ często istnieje wiele liczb (tzw. pierwiastki algebraiczne), które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę, to pierwiastkowanie nie może być w ogólności nazwane
działaniem
; często można jednak ograniczyć
dziedzinę
działania potęgowania tak, by możliwe było jego
odwrócenie
(dając tzw. pierwiastki arytmetyczne).
Pierwiastki są szczególnie istotne w teorii
szeregów
, gdzie
kryterium Cauchy'ego
(pierwiastkowe) służy wyznaczaniu
promienia zbieżności
szeregu potęgowego
. Pierwiastki można też zdefiniować dla
liczb zespolonych
; warto nadmienić, iż
pierwiastki zespolone z jedynki
odgrywają istotną rolę w matematyce wyższej. Duża część
teorii Galois
skupia się na wskazaniu, które z
liczb algebraicznych
można przedstawić za pomocą pierwiastków, co prowadzi do znanego
twierdzenia Abela-Ruffiniego
mówiącego, iż ogólny
wielomian
stopnia piątego bądź wyższego nie może być rozwiązany za pomocą tzw.
pierwiastników
, tzn. wyrażeń połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz pierwiastków.
Historia
Początki symbolu pierwiastka √ są dość niejasne. Niektóre źródła[] podają, że symbol został wprowadzony przez
Arabów
, a po raz pierwszy został on użyty przez Abū al-Hasana ibn Alīego al-Qalasādīego (1421-1486) i został wyprowadzony z
arabskiej
litery ج, pierwszej litery słowa Jadhir (gdzie „dh” oznacza
międzyzębową dźwięczną spółgłoskę szczelinową
, odpowiednik angielskiego „th” w wyrazie the) oznaczającego „korzeń”.
Wielu, w tym
Leonhard Euler
[1] wierzy, że pochodzi on od
litery
r, pierwszej litery
łacińskiego
słowa radix, które oznacza to samo
działanie matematyczne
. Symbolu użyto po raz pierwszy w druku bez vinculum (poziomej kreski nad liczbami wewnątrz symbolu pierwiastka) w 1525 roku w Die Coss autorstwa
niemieckiego
matematyka Christoffa Rudolffa.
Termin surd pochodzi z czasów
al-Khwārizmīego
(ok. 825), który liczby wymierne i niewymierne nazywał odpowiednio „słyszalnymi” i „niesłyszalnymi”. W związku z tym arabskie „assam” (głuchy, głupi) oznaczające liczbę niewymierną było później tłumaczone na łacinę jako surdus („głuchoniemy”).
Gerard z Cremony
(ok. 1150),
Fibonacci
(1202), a potem
Robert Recorde
(1551) używali tego terminu w odniesieniu do nierozwiązanych pierwiastków niewymiernych[2].
Definicja
Niech dana będzie
dodatnia
liczba całkowita
n nazywana stopniem. Pierwiastkiem z liczby x stopnia n nazywa się taką liczbę r, która podniesiona do n-tej
potęgi
jest równa x; innymi słowy jest to dowolna liczba r spełniająca równość
- rn = x.
Pierwiastek w powyższym sensie nazywa się często pierwiastkiem algebraicznym; każda dodatnia
liczba rzeczywista
ma jeden dodatni pierwiastek n-tego stopnia, nazywany często pierwiastkiem arytmetycznym. Pierwiastkiem n-tego stopnia z zera jest 0. W ten sposób każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przypisana zostaje nieujemna liczba rzeczywista, co umożliwia określenie
działania
pierwiastkowania w zbiorze nieujemnych liczb rzeczywistych.
Dla nieparzystych n każda ujemna liczba ma ujemny pierwiastek rzeczywisty n-tego stopnia (również nazywany pierwiastkiem arytmetycznym), choć nie jest to prawdą dla parzystych n.
Pierwiastek stopnia 2 nazywa się
pierwiastkiem kwadratowym
, zaś stopnia 3 –
pierwiastkiem sześciennym
; pierwiastki wyższych stopni identyfikuje się wyłącznie liczbowo, np. „pierwiastek czwartego stopnia”.
Pierwiastki zapisuje się zwykle za pomocą symbolu
pierwiastkom stopnia drugiego, trzeciego, czwartego itd. z liczby x odpowiadają kolejno symbole
itp. (zwyczajowo pomija się w zapisie stopień pierwiastka kwadratowego). Notacja ta nie budzi zastrzeżeń w stosunku do pierwiastków arytmetycznych, nie mniej może prowadzić do sprzeczności w przypadku pierwiastków algebraicznych, dla których symbole te nie są jednoznaczne.
Przykłady i własności
Liczba 2 jest pierwiastkiem czwartego stopnia z 16, gdyż 24 = 16. Jest to jedyna dodatnia liczba rzeczywista o tej własności i to właśnie ona nazywana jest pierwiastkiem arytmetycznym; innym pierwiastkiem rzeczywistym tej liczby jest − 2; istnieją także dwa nierzeczywiste pierwiastki tej liczby, które wraz z 2 oraz − 2 są pierwiastkami algebraicznymi 4-tego stopnia z 16.
Przykładem pierwiastka z liczby ujemnej może być liczba − 2, która ma rzeczywisty pierwiastek piątego stopnia,
lecz nie ma żadnych rzeczywistych pierwiastków szóstego stopnia.
Większość liczb ma
niewymierne
pierwiastki, przykładowo

Mimo wszystko wszystkie pierwiastki liczb całkowitych, a nawet
liczb algebraicznych
, są algebraiczne.
Jeżeli x,y są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś n,m są dodatnimi liczbami całkowitymi, to:
W
analizie matematycznej
pierwiastki traktuje się jako przypadki szczególne
potęgowania
o wykładniku będącym
ułamkiem
, tzn.
![\sqrt[n] x = x^{1/n},](http://upload.wikimedia.org/math/b/8/7/b8767932a04172ee09f1d08e0d289273.png)
stąd prawdziwe są również następujące równości:
Ze
wzorów skróconego mnożenia
wynikają wzory:
Pierwiastek można również wyrazić w postaci
szeregu
:

o ile | x | < 1. Wyrażenie to można wyprowadzić z szeregu dwumiennego.
Pierwiastek zespolony
Dla dodatniej liczby całkowitej n pierwiastkiem (algebraicznym) stopnia n z
liczby zespolonej
x nazywa się dowolną liczbę r spełniającą równość
- rn = x.
Każda niezerowa
liczba zespolona
(a więc i rzeczywista) x ma n różnych zespolonych pierwiastków n-tego stopnia; szczególnie istotne są szeroko stosowane w matematyce pierwiastki z jedynki.
Pierwiastki z liczby zespolonej z można wyznaczyć korzystając ze wzoru de Moivre'a:
,
dla
(powyższy symbol pierwiastka oznacza pierwiastek arytmetyczny).
Przykładowo dla liczby z = − 4 jest | z | = 4, a ponadto
, a więc w
postaci biegunowej
ma ona postać z = 4(cosπ + isinπ).
Pierwiastkami drugiego stopnia z z są:


Typografia
Niżej przedstawiono kody znaków symboli pierwiastka:
Znak | Nazwa polska[3] |
Unikod
| Nazwa unikodowa |
ASCII
|
URL
|
HTML
(inne) |
---|
√ | pierwiastek kwadratowy | U+221A | SQUARE ROOT | √ | %E2%88%9A | √ |
∛ | pierwiastek sześcienny | U+221B | CUBE ROOT | ∛ | %E2%88%9B | |
∜ | pierwiastek czwartego stopnia | U+221C | FOURTH ROOT | ∜ | %E2%88%9C | |
‾ | kreska wiążąca górna | U+203E | OVERLINE | | | |
‾ | kreska wiążąca górna dostawna | U+0305 | COMBINING OVERLINE | | | |
W
LaTeX-u
:
- pierwiastek
zapisywany jest jako \sqrt x
; - pierwiastek
zapisywany jest jako \sqrt[k] x
.
Zobacz też
Przypisy