Mechanika statystyczna (lub fizyka statystyczna) to gałąź
fizyki
, zajmująca się układami wielu oddziałujących ciał. Specyfiką tej teorii jest jej metoda. Poszczególne ciała są bowiem opisane przez
zmienne losowe
. Obliczenia prowadzone w ramach mechaniki statystycznej dotyczą średnich z tych zmiennych z wykorzystaniem metod
statystycznych
. Fizyczną podstawą mechaniki statystycznej jest
termodynamika fenomenologiczna
.
Z mechaniki statystycznej można wydzielić teorię
stanów
równowagi termodynamicznej
. Ta teoria jest daleko bardziej rozwinięta, niż teoria nierównowagowa. Powszechnie używa się tu tzw. formalizmu sumy statystycznej. Sama
suma statystyczna
nie ma znaczenia fizycznego, natomiast jest wielkością użyteczną do obliczania wielkości fizycznych. Recepta na obliczenie sumy statystycznej dla danego układu jest na ogół uważana za równoznaczną z określeniem jego własności równowagowych.
Równowagowa mechanika statystyczna korzysta z kluczowego założenia, że
prawdopodobieństwo
pozostawania przez układ w danym stanie zależy tylko od energii tego stanu. Stan równowagi jest więc stanem, w którym informacja o przeszłości układu nie jest istotna.
Entropia mikroskopowa, czynnik Boltzmanna i suma statystyczna
Podstawą mechaniki statystycznej (fizyki statystycznej) jest definicja
entropii
pochodząca od
Boltzmanna
:
- Entropia makroskopowa układu jest proporcjonalna do
logarytmu
liczby mikroskopowych stanów układu.
Współczynnik proporcjonalności oznaczany przez k nazywany jest
stałą Boltzmanna
. Z tej definicji wynika, że gdy układ w stanie mikroskopowym o energii E jest w równowadze termicznej z termostatem o temperaturze T (β=1/kT) to
prawdopodobieństwo
tego stanu jest proporcjonalne do
tą wielkość nazywamy czynnikiem Boltzmanna. Te prawdopodobieństwa wysumowane po wszystkich stanach mikroskopowych muszą dać jedność. Pozwala to zdefiniować
sumę statystyczną
:
gdzie Ei jest energią i-tego stanu mikroskopowego. Suma statystyczna jest miarą liczby stanów dostępnych przez układ fizyczny. Prawdopodobieństwo znalezienia się układu w poszczególnym stanie (i) w temperaturze T z energią Ei jest równe
Związki z termodynamiką
Suma statystyczna może posłużyć do wyliczenia wartości oczekiwanej (średniej) dowolnej mikroskopowej wielkości. Tak dla przykładu, średnia mikroskopowa energia E jest interpretowana jako energia wewnętrzna (U) w termodynamice. Tak więc,
wraz z interpretacją <E> jako U, daje następującą definicje
energii wewnętrznej
:
Entropię określamy z wzoru (
entropia
Shannona
)
który daje
gdzie F jest
energia swobodną
układu fizycznego, stąd
Mając zdefiniowane podstawowe
potencjały termodynamiczne
U (
energię wewnętrzną
), S (
entropię
) i F (
energię swobodną
) można otrzymać wszystkie wielkości termodynamiczne opisujące układ fizyczny.
Zmienna liczba cząstek
W przypadku gdy liczba cząstek nie jest zachowana, należy wprowadzić
potencjał chemiczny
, μj, j = 1,...,n i zamienić
sumę statystyczną
na
gdzie Nij jest liczba cząstek rodzaju jth w i-tym stanie mikroskopowym.
To samo z użyciem zespołu wielkiego kanonicznego:
Zobacz też