Układ dynamiczny,
model
matematyczny
rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy; najczęściej jest opisany pewnym wektorowym
równaniem różniczkowym
(czyli w istocie
układem równań
różniczkowych zwyczajnych), zwanym
równaniem stanu
. Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział
matematyki
znajdujący liczne zastosowania przy opisie rozmaitych konkretnych zjawisk, m.in. w
automatyce
.
Układ z pamięcią - zachowanie układu zależy od stanu pamięci i zadanego wymuszenia.
Typy układów dynamicznych
Gładkie (pochodzą od autonomicznych równań różniczkowych)
X - zbiór z pewną strukturą różniczkowalną
(Tt) - rodzina odwracalnych przekształceń różniczkowalnych (
dyfeomorfizmów
) spełniających warunek
Topologiczne (dziedzina - dynamika topologiczna)
Niech będzie przestrzenią
topologiczną
oraz niech będzie odwzorowaniem. Parę nazywamy układem dynamicznym, jeżeli dla wszystkich oraz zachodzą warunki:
- ,
oraz jest odwzorowaniem
ciągłym
.
Interpretacja
Interpretecja tej definicji może być nastepująca:
Przestrzeń jest zbiorem wszystkich możliwych stanów, w których może znajdować się pewien fizyczny układ. Zbiór liczb rzeczywistych reprezentuje oś czasu. Punkt jest interpretowany jako stan układu po upływie czasu , jeżeli wiemy, iż układ ten był w chwili w stanie . Warunek drugi powyższej definicji mówi w istocie o tym, że sposób ewolucji początkowego stanu układu nie zależy od czasu, w którym ta ewolucja przebiega.
Teoriomiarowe (dziedzina - teoria ergodyczna)
- przestrzeń z miarą (zwykle
probabilistyczna
), -
odwzorowanie mierzalne
o którym często zakłada się, że zachowuje miarę, tzn. μ(B) = μ(T − 1B) dla .
Przykładami takich odwzorowań są: przekształcenie piekarza[1][2][3] [4][5] oraz przesunięcie w lewo dla układu Bernoulliego, albo np. dla .
Przypisy
- ↑ Hiroshi H. Hasagawa and William C. Saphir, "Unitarity and irreversibility in chaotic systems", Physical Review A, 46, p7401 (1992)
- ↑ Ronald J. Fox, "Construction of the Jordan basis for the Baker map", Chaos, 7 p 254 (1997)
- ↑ Dean J. Driebe, Fully Chaotic Maps and Broken Time Symmetry, (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Netherlands (Exposition of the eigenfunctions the Baker's map).
- ↑ Friedrich L. Bauer, Sekrety kryptografii, Helion, 2003, .
- ↑ B. Schweizer and A. Sklar, Foundations of Physics, Vol. 20, No. 7, 1990, s. 873