Aksjomat Martina – zdanie postulujące pewną własność
zbiorów uporządkowanych
.
Zdanie to jest używane w
teorii mnogości
i pokrewnych dziedzinach
matematyki
. Jest ono niezależne od standardowych
aksjomatów ZFC
, tzn. zdania tego nie można udowodnić na gruncie tych aksjomatów ani nie można go obalić. Ponieważ ma ono wiele ciekawych konsekwencji, jest ono traktowane przez matematyków jako dodatkowy aksjomat, który może być zakładany, jeśli tego wymaga dowód. W tym sensie pozycja aksjomatu Martina może być porównana do pozycji zajmowanej przez
hipotezę continuum
(CH).
Historia i znaczenie
Około roku
1965
amerykańscy matematycy
Robert M. Solovay
i Stanley Tennenbaum rozwinęli metodę
forsingu
, wprowadzając forsing iterowany, aby udowodnić niezależność
hipotezy Suslina
. W procesie badania ich wyników,
Donald A. Martin
(również amerykański matematyk) zaproponował aksjomat, który w dużym stopniu odzwierciedlał sedno modelu teorii mnogości skonstruowanego przez Solovaya i Tennenbauma. Aksjomat zaproponowany przez Martina i pewne jego zastosowania były przedstawione w
1970
[1], a dowód niesprzeczności tego aksjomatu i sama metoda forsingu iterowanego były opublikowane w
1971
[2].
Aksjomat Martina uogólnia hipotezę continuum i w wielu przypadkach pozwala na powtórzenie argumentów stosowanych przy użyciu CH. Najważniejsze zastosowania aksjomatu Martina są związane z jednoczesnym odrzuceniem hipotezy continuum (tzn. założeniem
) i wtedy jego siła polega na stwierdzeniu, że pomimo tego, iż
, to
uniwersum
teorii mnogości wygląda trochę tak, jakby CH była prawdziwa.
Należy podkreślić, że główne źródło popularności aksjomatu Martina tkwi w możliwości wyeliminowania dość skomplikowanych dowodów niesprzeczności pewnych stwierdzeń przy użyciu
forsingu
. Ma więc on znaczenie dydaktyczne jako wprowadzenie do metody forsingu[3] oraz praktyczne jako narzędzie dla matematyków nie zaznajomionych z metodą forsingu[4].
Definicje
Przed sformułowaniem aksjomatu przypomnijmy następujące definicje.
Niech
będzie porządkiem częściowym.
- Zbiór
jest
antyłańcuchem
w
wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwa różne elementy
są sprzeczne, tzn.

- Powiemy, że
spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo ccc, jeśli każdy antyłańcuch w
jest
przeliczalny
. - Zbiór
jest
gęsty
w
wtedy i tylko wtedy gdy 
- Niepusty zbiór
jest
filtrem
w
wtedy i tylko wtedy, gdy
- (i) jeśli
,
oraz
, to również
, - (ii) jeśli
, to można znaleźć
taki, że
oraz
.
Aksjomat
Aksjomat Martina to następujące zdanie
- jeśli
jest porządkiem częściowym spełniającym warunek przeliczalnych antyłańcuchów (ccc) i
jest rodziną gęstych podzbiorów
oraz
(gdzie
oznacza
moc zbioru
),
- to istnieje filtr
który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z
(tzn
).
Aksjomat Martina jest tradycyjnie oznaczany przez MA. Należy zauważyć, że CH implikuje MA w formie sformułowanej powyżej (patrz sekcja 5 o aksjomatach forsingowych) i wtedy nie ma wielkiego pożytku z zakładania tego aksjomatu. Dlatego też matematycy często mówiąc aksjomat Martina, myślą MA+¬CH.
Konsekwencje
Załóżmy MA oraz ¬CH. Wówczas następujące stwierdzenia są prawdziwe:
- Wszystkie współczynniki kardynalne w
diagramie Cichonia
są równe
. W szczególności
suma
mniej niż
continuum
wielu podzbiorów
prostej
, które są
miary zero
, jest zbiorem miary zero oraz suma mniej niż continuum wielu podzbiorów prostej, które są
pierwszej kategorii
, jest pierwszej kategorii. -
Lemat Bootha
: Jeśli
jest rodziną nieskończonych podzbiorów zbioru
liczb naturalnych
z
własnością skończonych przekrojów
,
oraz
zawiera wszystkie zbiory o
dopełnieniu
skończonym, to rodzina
ma nieskończony pseudo-przekrój, tzn. istnieje zbiór nieskończony
taki, że dla każdego zbioru
różnica
jest zbiorem skończonym. - Jeśli
, to każda
baza otoczeń
punktu p w
jest mocy continuum. (Przypomnijmy, że
jest
uzwarceniem Čecha-Stone'a
przestrzeni
.) - Dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej
,
. Stąd można wywnioskować, że
jest regularną liczbą kardynalną. - Każdy porządek częściowy spełniający ccc ma
własność Knastera
oraz każda
przestrzeń topologiczna
, która jest ccc spełnia warunek Knastera.
- Przypomnijmy, że przestrzeń topologiczna X jest ccc, jeśli każda rodzina
rozłącznych
niepustych
otwartych
podzbiorów X jest przeliczalna.
Porównanie: MA a CH
Hipoteza continuum jest równoważna ze zdaniem:
- CH: Jedyną nieskończoną liczbą kardynalną mniejszą niż continuum jest liczba
.
Aksjomat Martina jest słabszą wersją tego zdania; powyższe konsekwencje aksjomatu Martina demonstrują że MA ma formę
- MA: Każda nieskończona liczba kardynalna mniejsza niż continuum jest podobna (w pewnym sensie) do liczby
.
Ogólny schemat aksjomatów forsingowych
Aksjomat Martina był pierwszym aksjomatem forsingowym sformułowanym w teorii mnogości. Gdy jego popularność poza teorią mnogości (np w
topologii
czy też w
teorii miary
) stała się oczywista, specjaliści w teorii forsingu starali się zaproponować społeczności matematycznej szerszą rodzinę aksjomatów opartych na schemacie przedstawionym poniżej.
- Dla porządku częściowego
i liczby kardynalnej κ niech
oznacza następujące zdanie:
- jeśli
jest rodziną gęstych podzbiorów
oraz
, - to istnieje filtr
który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z
(tzn
).
- Dla klasy
porządków częściowych i liczby kardynalnej κ,
jest zdaniem
.
Należy zauważyć, że na mocy klasycznego lematu polskich matematyków
Heleny Rasiowej
i
Romana Sikorskiego
,
jest prawdziwe (w ZFC). Nietrudno jest też wykazać, że jeśli
jest porządkiem bezatomowym, to
jest zdaniem fałszywym (w ZFC).
Jeśli CCC oznacza klasę wszystkich porządków częściowych spełniających ccc, to wprowadzony wcześniej aksjomat Martina oznacza
. Aksjomat
był uogólniony przez
Saharona Shelaha
do
PFA
[6], aksjomatu, który również jest wspomnianej powyżej postaci i także jest niezależny od aksjomatów ZFC. Wśród aksjomatów forsingowych PFA jest drugim co do popularnośći w matematyce (po MA).
W literaturze matematycznej istnieją pewne rozbieżności, jeśli chodzi o terminologię związaną z aksjomatami forsingowymi. Niektórzy autorzy rezerwują nazwę aksjomat Martina i symbol MAκ dla MAκ(CCC), a dla pozostałych przypadków używają oznaczenia FAκ. Istnieją również pewne niekonsekwencje w formułowaniu definicji i roli liczby κ. Czasami MAκ jest rozumiany jako MA < κ, tzn. postulat istnienia filtru przecinającego zadane < κ zbiorów gęstych.
Bibliografia
- ↑ Martin, D. A.; Solovay, R. M.: Internal Cohen extensions. "Ann. Math. Logic" 2 (1970), s. 143-178.
- ↑ Solovay, R. M.; Tennenbaum, S.: Iterated Cohen extensions and Souslin's problem. "Ann. of Math." (2) 94 (1971), s. 201-245.
- ↑ Kunen, Kenneth: Set theory. An introduction to independence proofs. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980.
- ↑ Fremlin, David H.: Consequences of Martin's axiom. "Cambridge Tracts in Mathematics", 84. Cambridge University Press, Cambridge, 1984. .
- ↑ Shelah, Saharon: Infinite abelian groups, Whitehead problem and some constructions. "Israel J. Math." 18 (1974), s. 243-256.
- ↑ Shelah, Saharon: Proper forcing. "Lecture Notes in Mathematics", 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982.
Zobacz też