Aksjomat determinacji - zdanie w teorii mnogości postulujące zdeterminowanie pewnych gier nieskończonych .

W literaturze matematycznej istnieje cała rodzina aksjomatów determinacji, do najpopularniejszych należy jednak aksjomat AD, którego nie można udowodnić na gruncie aksjomatów ZF i który implikuje, że aksjomat wyboru jest fałszywy. Niesprzeczność AD jest równoważna z niesprzecznością istnienia pewnych dużych liczb kardynalnych .

W dalszej części tego artykułu będziemy używać oznaczeń i definicji wprowadzonych w artykule o grach nieskończonych .

Rys historyczny

• Pierwsza gra nieskończona była opisana w 1930 przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej . Dzisiaj gra ta jest znana pod nazwą gry Banacha-Mazura .
• W 1962 polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus ^[1] zaproponowali badania aksjomatów determinacji. Aksjomaty te były intensywnie studiowane na początku lat 60. XX wieku przez Jana Mycielskiego i Stanisława Świerczkowskiego^[2][3][4].
• W 1969 Donald A. Martin udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna oraz jest zbiorem analitycznym , to gra jest zdeterminowana^[5].
• W 1975 Martin wykazał, że jeśli jest zbiorem borelowskim , to gra jest zdeterminowana^[6][7].
• W końcu lat 80. XX wieku Hugh Woodin , Donald Martin i John Steel wykazali, że przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych , wszystkie gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane^[8][9]. Ponadto udowodnili oni, że jeśli istnieją odpowiednio duże liczby kardynalne, to ZF+AD jest niesprzeczne.
• W latach 90. XX wieku Woodin rozwinął teorię wokół pojęcia forsingu , które okazało się kluczowym elementem badań struktury ) przy założeniu AD w (gdzie I_NS jest ideałem niestacjonarnych podzbiorów ω₁, a jest rodziną zbiorów dziedzicznie mocy < ω₂)^[10].

Aksjomat i jego wersje

Definicje wstępne

Przypomnijmy następujące definicje:

• Niech będzie zbiorem o przynajmniej dwóch elementach oraz niech . Gra pomiędzy graczami I i II jest zdefiniowana jako proces, w wyniku którego gracze konstruują ciąg nieskończony o wyrazach w w taki sposób, że po tym jak już zostało wybrane, to

jeśli n jest parzyste, to gracz I wybiera η(n), a

jeśli n jest nieparzyste, to gracz II wybiera η(n).

Po wykonaniu wszystkich ω kroków, kiedy gracze zbudowali ciąg , powiemy, że gracz I wygrał partię η jeśli .

• Strategia dla gracza I to funkcja . Powiemy, że ciąg jest zgodny ze strategią σ jeśli . Strategia σ dla gracza I jest strategią zwycięską gracza I w , jeśli każdy ciąg η zgodny z σ należy do zbioru A.
• Strategia dla gracza II to funkcja . Powiemy, że ciąg jest zgodny ze strategią τ jeśli . Strategia τ dla gracza II jest strategią zwycięską gracza II w jeśli żaden ciąg η zgodny z τ nie należy do zbioru A.
• Powiemy że gra jest zdeterminowana, jeśli jeden z graczy ma strategię zwycięską.

Aksjomaty determinacji

• Aksjomat determinacji AD to zdanie

dla każdego zbioru gra jest zdeterminowana.

• Aksjomat determinacji rzeczywistej to zdanie

dla każdego zbioru gra jest zdeterminowana

(gdzie oznacza zbiór liczb rzeczywistych ).

• Aksjomat determinacji rzutowej PD to zdanie

dla każdego zbioru rzutowego gra jest zdeterminowana.

Konsekwencje

• implikuje AD.
• Następujące stwierdzenia są konsekwencjami AD:

1. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire'a .
2. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue'a .
3. Każdy nieprzeliczalny podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały .
4. Dla każdego , jest liczbą nieosiągalną w .
5. jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem).
6. jest liczbą mierzalną.

• Następujące stwierdzenia są konsekwencjami PD:

1. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire'a.
2. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue'a.
3. Każdy nieprzeliczalny rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.

• Jeśli istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina z liczbą mierzalną powyżej ich, to

1. oraz
2. PD jest prawdziwe.

• Teoria "ZF+AD" jest niesprzeczna wtedy i tylko wtedy, gdy niesprzeczna jest teoria "ZFC+ istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina".

Bibliografia

1. ↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, H.: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. "Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys." 10 (1962), s. 1-3
2. ↑ Mycielski, Jan i Świerczkowski, Stanisław: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. " Fundamenta Mathematicae ". 54 (1964), s. 67-71.
3. ↑ Mycielski, Jan: On the axiom of determinateness. "Fundamenta Mathematicae" 53 (1963/1964), s. 205-224.
4. ↑ Mycielski, Jan: On the axiom of determinateness. II. "Fundamenta Mathematicae" 59 (1966), s. 203-212
5. ↑ Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fundamenta Mathematicae" 66 (1969/1970), s. 287-291.
6. ↑ Martin, Donald A.: Borel determinacy. "Ann. of Math." (2) 102 (1975), nr 2, s. 363-371.
7. ↑ Martin, Donald A.: A purely inductive proof of Borel determinacy. "Recursion theory (Ithaca, N.Y., 1982)", Proc. Sympos. Pure Math., 42 (1985). s. 303-308.
8. ↑ Woodin, W. Hugh: Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 85 (1988), s. 6587-6591.
9. ↑ Martin, Donald A., Steel, John R.: A proof of projective determinacy. "J. Amer. Math. Soc." 2 (1989), s. 1, 71-125.
10. ↑ Woodin, W. Hugh: The axiom of determinacy, forcing axioms, and the nonstationary ideal. "de Gruyter Series in Logic and its Applications", 1. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1999.

Zobacz też

• ,
• teoria mnogości ,
• opisowa teoria mnogości ,
• gry nieskończone