Algebra ogólna

Algebra ogólna

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej . Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

Definicja

Niech $\mathfrak{F}$ będzie zbiorem i niech $\varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N}_0$ .

Algebrą sygnatury $\varsigma\,$ jest para $\mathcal{A}=\langle A,\mathcal{J}\rangle$ , gdzie $A\,$ jest zbiorem (zwykle niepustym), a $\mathcal{J}$ jest funkcją , która elementowi $\mathfrak{f}$ zbioru $\mathfrak{F}$ przyporządkowuje $\varsigma(\mathfrak{f})$ - argumentowe działanie $\mathcal{J}(\mathfrak{f})$ w zbiorze $A\,$ . Zbiór $A\,$ nazywamy uniwersum algebry $\mathcal{A}$ , funkcję $\mathcal{J}$ interpretacją zbioru $\mathfrak{F}$ w algebrze $\mathcal{A}$ .

Dla danej algebry $\mathcal{A}$ , jego uniwersum oznacza się zazwyczaj jako $|\mathcal{A}|$ . Także zamiast pisać $\mathcal{J}(\mathfrak{f})$ pisze się $\mathcal{A}(\mathfrak{f})$ albo $\mathfrak{f}^{\mathcal{A}}$ .

Przykłady

Algebra Peano arytmetyki liczb naturalnych, $\mathfrak{N}\,$ .
$\varsigma_\mathbf{PA}= \left\langle\begin{array}{c|c|c|c|c}\mathbf{A}&\mathbf{M}&\mathbf{P}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&2&2&0&0\end{array}\right\rangle$ ,
$\mathfrak{N}(\mathbf{A})(a,b)=a+b\,,\;\mathfrak{N}(\mathbf{M})(a,b)=a\cdot b\,,\;$
$\mathfrak{N}(\mathbf{P})(a,b)=a^b\,,\;\,a,b\in\mathbb{N}_0$ oraz $\mathfrak{N}(\mathbf{O})=0\,,\;\mathfrak{N}(\mathbf{I})=1$
Algebra Presburgera arytmetyki samego dodawania, $\mathfrak{N}^{(+)}\,$ .
$\varsigma_\mathbf{Pr}= \left\langle\begin{array}{c|c|c}\mathbf{A}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&0&0\end{array}\right\rangle$ ,
$\mathfrak{N}^{(+)}(\mathbf{A})(a,b)=a+b\,,\;\,a,b\in\mathbb{N}_0 \quad \mbox{oraz}\quad \mathfrak{N}^{(+)}(\mathbf{O})=0\,,\;\mathfrak{N}^{(+)}(\mathbf{I})=1.$
Algebra Cegielskiego arytmetyki samego mnożenia, $\mathfrak{N}^{(\bullet)}\,$ .
$\varsigma_\mathbf{Ceg}= \left\langle\begin{array}{c|c|c}\mathbf{M}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&0&0\end{array}\right\rangle$ ,
$\mathfrak{N}^{(\bullet)}(\mathbf{A})(a,b)=a\cdot b\,,\;\,a,b\in\mathbb{N}_0 \quad \mbox{oraz}\quad \mathfrak{N}^{(\bullet)}(\mathbf{O})=0\,,\;\mathfrak{N}^{(\bullet)}(\mathbf{I})=1.$
Algebra arytmetyki liczb całkowitych, $\mathfrak{Z}\,$ .
$\varsigma_\mathfrak{Z}= \left\langle\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\mathbf{A}&\mathbf{M}&\mathbf{Sb}&\mathbf{N}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&2&2&1&0&0\end{array}\right\rangle$
$\mathfrak{Z}(\mathbf{A})(a,b)=a+b\,,\; \mathfrak{Z}(\mathbf{M})(a,b)=a\cdot b\,,\; \mathfrak{Z}(\mathbf{Sb})(a,b)=a-b\,,\;a,b\in\mathbb{Z},$
$\mathfrak{Z}(\mathbf{N})(a)=-a\,,\;\;a\in\mathbb{Z}$ oraz $\mathfrak{Z}(\mathbf{O})=0\,,\;\mathfrak{Z}(\mathbf{I})=1.$
Algebra podzbiorów zbioru $X\,$ , $\mathfrak{P}_{(X)}\,$ .
$\varsigma_\mathbf{BA}= \left\langle\begin{array}{c|c|c|c|c}\mathbf{J}&\mathbf{M}&\mathbf{N}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&2&1&0&0\end{array}\right\rangle\,$ ,
$\mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{J})(a,b)=a\cup b\,,\; \mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{M})(a,b)=a\cap b\,,\;\;a,b\in\wp(X)\,,\;$
$\mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{N})(a)=X\setminus a\,,\;\;a\in\wp(X)\,,$ oraz $\mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{O})=\emptyset\;\,,\;\mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{I})=X.$
Krata podzielności w $\mathbb{N}\,$ , $\mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}\,$ .
$\varsigma_{\mathbf{B\cdot Lat}}= \left\langle\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf{J}&\mathbf{M}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&2&0&0\end{array}\right\rangle\,$ ,
$\mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}(\mathbf{J})(a,b)=\mathbf{nwd}\{a,b\}\,,\; \mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}(\mathbf{M})(a,b)=\mathbf{nww}({a,b})\,,\;\;a,b\in\mathbb{N}\,\;$ (zob. nww , nwd )
oraz $\mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}(\mathbf{O})=1\;\,,\;\mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}(\mathbf{I})=0.$

Redukty i wzbogacenia

Niech $\mathcal{A}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N}$ i niech $\mathfrak{F}_0\subseteq\mathfrak{F}$ .

Reduktem prostym algebry $\mathcal{A}$ do $\mathfrak{F}_0$ nazywamy algebrę $\mathcal{A}|_\mathfrak{F_0}=\langle A,\mathcal{J}|_\mathfrak{F_0}\rangle$ .

Przykłady

$\mathfrak{N}^{(+)}$ i $\mathfrak{N}^{(\bullet)}$ są reduktami prostymi $\mathfrak{N}$
Algebrę $\mathfrak{P}_{(X)}|_{\{\mathbf{J},\mathbf{M}\}}$ nazywamy kratą podzbiorów zbioru $X\,$ .

W niektórych wypadkach wprowadzone wyżej pojęcie reduktu prostego może być niewystarczające. Będzie tak np. w sytuacji, gdy na jednym uniwersum będziemy potrzebowali wprowadzić równolegle kilka struktur wzajemnie ze sobą powiązanych jak jest np. w przypadku pierścieni , czy ciał . Wtedy pomocnym okaże się następujące pojęcie reduktu nieprostego:

Redukty nieproste

Niech $\mathcal{A}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma:\mathfrak{F}\to\mathbb{N}$ i niech $\pi\colon\mathfrak{F}_0\to\mathfrak{F}$ będzie różnowartościowe. Reduktem nieprostym algebry $\mathcal{A}$ do $π$ nazywamy algebrę $\mathcal{A}|_{\pi}$ sygnatury $\varsigma\circ\pi$ , której uniwersum jest $|\mathcal{A}|$ i w której

$\mathfrak{f}^{(\mathcal{A}|_{\pi})}=\mathcal{A}\big(\pi(\mathfrak{f})\big)\quad,\qquad f\in\mathfrak{F}_0$

Algebra $\mathcal{B}$ jest wzbogaceniem (prostym) algebry $\mathcal{A}$ , jeśli $\mathcal{A}$ jest reduktem (prostym) algebry $\mathcal{B}$ .

Przykłady

Pierścień to taka algebra $\mathcal{R}$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{ring}=\left\langle\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf{A}&\mathbf{M}&\mathbf{N}&\mathbf{Z}\\\hline2&2&1&0\end{array}\right\rangle$ , że redukt $\mathcal{R}|_{\{\mathbf{A}/\mathbf{M},\mathbf{N},\mathbf{Z}/\mathbf{E}\}}$ jest grupą przemienną, a $\mathcal{R}|_{\{\mathbf{M}\}}$ jest półgrupą oraz spełnione są równości:

$x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z\quad\mbox{i}\quad (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z\qquad,\quad x,y,z\in|\mathcal{R}|.$

gdzie

$x+y=\mathbf{A}^{\mathcal{R}}(x,y)\,,\; x\cdot y=\mathbf{M}^{\mathcal{R}}(x,y)\,,\; -x=\mathbf{N}^{\mathcal{R}}(x)\,,\; 0=\mathbf{Z}^{\mathcal{R}}\,,\qquad x,y\in|\mathcal{R}|.$

Tutaj zastosowana jest konwencja notacyjna wedle której $\{\mathbf{A}/\mathbf{M},\mathbf{N},\mathbf{Z}/\mathbf{E}\}$ jest innym zapisem funkcji $\pi=\left\langle\begin{array}{c|c|c}\mathbf{M}&\mathbf{N}&\mathbf{E}\\\hline\mathbf{A}&\mathbf{N}&\mathbf{Z}\end{array}\right\rangle$

Ciało to taka algebra $\mathcal{F}$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{field}=\varsigma_\mathbf{ring}\cup\{\mathbf{R}\mapsto1,\mathbf{J}\mapsto0\}$ , że $\mathcal{F}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M},\mathbf{N},\mathbf{Z}\}}$ jest pierścieniem, a $\mathcal{F}|_{\{\mathbf{M},\mathbf{R}/\mathbf{N},\mathbf{J}/\mathbf{E}\}}$ jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się następujące oznaczenia:

$1=\mathbf{A}^{\mathcal{F}}(x,y)\,,\; x^{-1} =\mathbf{R}^{\mathcal{F}}(x)\,,\qquad x\in|\mathcal{F}|.$

Podalgebry

Algebra $\mathcal{C}$ jest podalgebrą algebry $\mathcal{A}$ , jeśli

$|\mathcal{C}|\subseteq|\mathcal{A}|$ oraz
$\mathcal{C}(\mathfrak{f})=\mathcal{A}(\mathfrak{f})|_{\big(|\mathcal{C}|\big)^{\varsigma(\mathfrak{f})}}\;,\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}$ .

Uwaga

Niech $\mathcal{A}$ będzie algebrą. Na to, aby $C\subseteq|\mathcal{A}|$ było uniwersum podalgebry algebry $\mathcal{A}$ potrzeba i wystarcza, aby $\qquad\mathcal{A}(\mathfrak{f})|_{\big(|\mathcal{C}|\big)^{\varsigma(\mathfrak{f})}}\subseteq|C|\;,\qquad\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}$

Uwaga

Niech $\mathcal{A}$ będzie algebrą i niech $C\subseteq|\mathcal{A}|$ . Wówczas wśród podalgebr algebry $\mathcal{A}$ , których uniwersum zawiera $C\,$ istnieje algebra najmniejsza.

Algebrę tę nazywamy podalgebrą wyznaczoną przez $C\,$ i oznacza się $\mathcal{A}[C]$ albo $\langle C\rangle_{\mathcal A}$ .

Przykłady

Algebra $\mathfrak{N}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M},\mathbf{O},\mathbf{I}\}}$ jest podalgebrą algebry $\mathfrak{Z}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M},\mathbf{O},\mathbf{I}\}}$ .
Podalgebrą algebry $\mathfrak{Z}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M},\mathbf{O},\mathbf{I}\}}$ generowaną przez $\{1\}\,$ jest $\mathfrak{N}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M},\mathbf{O},\mathbf{I}\}}$
Podalgebrą algebry $\mathfrak{Z}$ generowaną przez $\{1\}\,$ jest $\mathfrak{Z}$
Uniwersum podalgebry algebry $\mathfrak{Z}|_{\{\mathbf{M}\}}$ generowanej przez $\{-1\}\,$ jest $\{-1,1\}\,$
Podalgebrą algebry $\mathfrak{Z}|_{\{\mathbf{A},\mathbf{M}\}}$ generowanej przez $\{-1\}\,$ jest $\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{A},\mathbf{M}\}}$

Homomorfizmy

Niech $\mathcal{A}$ i $\mathcal{B}$ będą algebrami tej samej sygnatury $\varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N}_0$ .
Funkcję $h\colon|\mathcal{A}|\to|\mathcal{B}|$ jest homomorfizmem algebr $\mathcal{A}$ i $\mathcal{B}$ , jeśli

$\mathcal{B}(\mathfrak{f})\big( h(a_1),\ldots, h(a_{\varsigma(\mathfrak{f})})\big)= h\big( \mathcal{A}(\mathfrak{f})(a_1,\ldots, a_{\varsigma(\mathfrak{f})}) \big)\quad,\qquada_1,\ldots, a_{\varsigma(\mathfrak{f})}\in|\mathcal{A}|\;,\;\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}.$

Rodzinę wszystkich homomorfizmów z $\mathcal{A}$ do $\mathcal{B}$ oznaczamy $\mathbf{hom}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ .

Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem. Rodzinę wszystkich monomorfizmów z $\mathcal{A}$ do $\mathcal{B}$ oznaczamy $\mathbf{mon}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ .

Homomorfizm "na" nazywamy epimorfizmem. Rodzinę wszystkich epoimorfizmów z $\mathcal{A}$ do $\mathcal{B}$ oznaczamy $\mathbf{epi}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ .

Różnowartościowy epimorfizm, to izomorfizm. Rodzinę wszystkich izomorfizmów z $\mathcal{A}$ do $\mathcal{B}$ oznaczamy $\mathbf{iso}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ .

Homomorfizmy algebry w siebie, to endomorfizmy. Izomorfizmy w siebie, to automorfizmy.

Rodzinę wszystkich endomorfizmów algebry $\mathcal{A}$ oznaczamy $\mathbf{endo}(\mathcal{A})$ . Rodzinę wszystkich automorfizmów algebry $\mathcal{A}$ oznaczamy $\mathbf{aut}(\mathcal{A})$ .

Rodzina automorfizmów algebry w siebie tworzy z działaniem składania odwzorowań grupę .

Zauważmy, że algebra $\mathcal{A}$ jest podalgebrą algebry $\mathcal{B}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathbf{id}_{|\mathcal{A}|}\in\mathbf{hom}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ .

Jeśli $h\in\mathbf{hom}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ , to podalgebrę algebry $\mathcal{B}$ wyznaczoną przez $h\grave{}\,\grave{}|\mathcal{A}|$ nazywamy obrazem homomorfizmu $h$ i oznaczamy $\mathbf{im}(h)$ .

Przykłady

Odwzorowanie $\mathbb{N}\ni x\mapsto 2x\in\mathbb{Z}$ jest w $\mathbf{hom}(\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A}\}}\,,\,\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A}\}})$ ,
ale nie jest ani w $\mathbf{hom}(\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A}\}}\,,\,\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A}\}})$ , ani w $\mathbf{hom}(\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{M},\mathbf{A}\}}\,,\,\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{M},\mathbf{A}\}})$ .
Odwzorowanie $\mathbb{Z}\ni x\mapsto |x|\in\mathbb{N}$ jest w $\mathbf{hom}(\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{M}\}}\,,\,\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{M}\}})$ , ale nie jest w $\mathbf{hom}(\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A}\}}\,,\,\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A}\}})$ .
Jedynym homomorfizmem $\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A},\mathbf{M}\}}$ w $\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A},\mathbf{M}\}}$ jest $h\equiv0$ .
Jedynymi homomorfizmami $\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A},\mathbf{M}\}}$ w $\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A},\mathbf{M}\}}$ są $h\equiv0$ i $h\equiv\mathbf{id}_\mathbb{N}$ .
Jedynym homomorfizmem $\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A},\mathbf{M}\}}$ w $\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{I},\mathbf{A},\mathbf{M}\}}$ jest $h\equiv\mathbf{id}_\mathbb{N}$ .
Jedynymi homomorfizmami $\mathfrak{N}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A}\}}$ i $\mathfrak{Z}_{\{\mathbf{O},\mathbf{A}\}}$ są postaci $\mathbb{N}\ni x\mapsto k\cdot x\in\mathbb{Z}$ , dla pewnego $k\in\mathbb{Z}$ .

Kongruencje, zasadnicze twierdzenie algebry

Niech $\mathcal{A}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N}_0$ .
Relacja równoważności $\approx$ w $|\mathcal{A}|$ jest kongruencją algebry, gdy

$a_1\approx b_1,\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})}\approx b_{\varsigma(\mathfrak{f})}\quad\Rightarrow\quad\mathcal{A}(\mathfrak{f})(a_1,\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})})\approx\mathcal{A}(\mathfrak{f})(b_1,\ldots,b_{\varsigma(\mathfrak{f})})$ ,

$a_1,\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})}\,,\;b_1,\ldots,b_{\varsigma(\mathfrak{f})}\in|\mathcal{A}|\;,\;\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}.$

Przykład

Niech $h\in\mathbf{hom}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ i niech

$a\approx_hb\quad\Leftrightarrow\quad h(a)=h(b)\qquad,\quad\qquad a,b\in|\mathcal{A}|$

Wówczas $\approx_h$ jest kongruencją algebry $\mathcal{A}$ .

Algebra ilorazowa

Niech $\mathcal{A}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N}_0$ i niech $\approx$ będzie kongruencją w $\mathcal{A}$ .
Algebrą ilorazową $\mathcal{A}$ przez $\approx$ jest algebra $\mathcal{A}/\!_{\approx}$ , której uniwersum jest zbiór ilorazowy $|\mathcal{A}|/\!_{\approx}$ i w której:

$\left(\mathcal{A}\!/\!_{\approx}\right)(\mathfrak{f})(a_1/\!_{\approx},\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})}/\!_{\approx})=\left(\mathcal{A}(\mathfrak{f})(a_1,\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})})\right)\!\!/\!_{\approx}\quad,\qquada_1,\ldots,a_{\varsigma(\mathfrak{f})}\in|\mathcal{A}|\;,\;\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}$

Przyporządkowanie $|\mathcal{A}|\ni a\mapsto a\!/\!_{\approx}\in|\mathcal{A}|/\!_{\approx}$ nazywamy odwzorowaniem kanonicznym i oznaczamy je symbolem $\kappa_\approx$ . Jest ono homomorfizmem algebr $\mathcal{A}$ i $\mathcal{A}/\!_{\approx}$ .

Zasadnicze twierdzenie algebry

Niech $h\in\mathbf{hom}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ , wówczas $\mathcal{A}\!/\!_{\approx_h}$ i $\mathbf{im}(h)$ są izomorficzne.

Szczególne algebry

W poniższej sekcji opisano ważne z punktu widzenia matematyki algebry ogólne.

Zbiór

Zbiór to algebra $\mathcal S$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{set} = \varnothing$ .

Jest to przypadek zdegenerowany, z punktu widzenia algebry – nieistotny.

Zbiór z wyróżnionym punktem

Zbiór z wyróżnionym punktem to algebra $\mathcal S$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{set\bullet} = \{\mathbf P \mapsto 0\}$ , gdzie element $\mathbf{P}^\mathcal{S}$ nazywa się elementem bądź punktem wyróżnionym algebry $\mathcal S$ .

Element ten oznacza się niekiedy symbolem $\bullet$ . Zazwyczaj jednak element wyróżniony oznacza się małą literą, która służy do oznaczania uniwersum algebry (czasem z indeksem dolnym $0$ ).

Algebra unarna

Algebra unarna to algebra $\mathcal{U}$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{unalg} = \{\mathbf R \mapsto 1\}$ , gdzie $\mathbf R^\mathcal A(x)$ może mieć wiele różnych oznaczeń w zależności od zastosowań, np. $\sim\!x$ , $\neg x$ , czy $- x$ w notacji prefiksowej , $x'$ , $x - 1$ w notacji postfiksowej , czy też $\overline{x}$ z wykorzystaniem znaków diakrytycznych .

Grupoid

Grupoid to algebra $\mathcal A$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{grpd} = \{\mathbf M \mapsto 2\}$ , czyli inaczej mówiąc zbiór z działaniem dwuargumentowym .

Zamiast $\mathcal A(\mathbf M)(x, y)$ zwykle pisze się $x \cdot y$ lub nawet $x y$ (tzw. notacja multyplikatywna) lub $x + y$ (tzw. notacja addytywna), gdzie $x, y \in |\mathcal A|$ .

W notacji multyplikatywnej działanie grupoidu nazywa się mnożeniem, a w notacji addytywnej – dodawaniem. Notacja addytywna używana jest zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne .

Quasi-grupa

Quasi-grupa to wzbogacenie grupoidu $\mathcal A$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{qgrp} = \varsigma_\mathbf{grpd}\cup\{\mathbf{D_l} \mapsto 2, \mathbf{D_r} \mapsto 2\}$ , w którym spełnione są równości:

$x \cdot (x \backslash y) = y,\; x \backslash (x \cdot y) = y,\; (x / y) \cdot y = x,\; (x \cdot y) / y = x$ ,

gdzie

$x \backslash y := \mathcal A(\mathbf{D_l})(x, y),\; x / y := \mathcal A(\mathbf{D_r})(x, y)$ , gdzie $x, y \in |\mathcal A|$ .

Działania „ $/$ ” i „ $\backslash$ ” nazywa się odpowiednio dzieleniem prawo- i lewostronnym.

Lupa

Lupa (pętla) to wzbogacenie quasigrupy $\mathcal A$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{qgrp} \cup \{\mathbf E \mapsto 0\}$ , które spełnia równości

$x \cdot \mathbf e = \mathbf e \cdot x = x,\; x \in |\mathcal A|$ ,

gdzie $\mathbf e = \mathcal A(\mathbf E)$ .

Innymi słowy, pętla to quasigrupa z elementem neutralnym mnożenia.

Półgrupa

Półgrupa to grupoid z działaniem łącznym .

Monoid

Monoid to wzbogacenie półgrupy $\mathcal A$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{mon} = \varsigma_\mathbf{grpd} \cup \{\mathbf E \mapsto 0\}$ , które spełnia równości

$x \cdot \mathbf e = \mathbf e \cdot x = x,\; x \in |\mathcal A|$ ,

gdzie $\mathbf e = \mathcal A(\mathbf E)$ w notacji multyplikatywnej, często też $1 = \mathcal A(\mathbf E)$ . W notacji addytywnej zamiast $\mathcal A(\mathbf E)$ pisze się zwykle $0$ .

Monoid można określić jako półgrupę z elementem neutralnym działania tej półgrupy.

Grupa

Grupa jest wzbogaceniem monoidu $\mathcal A$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{mon} \cup \{\mathbf R \mapsto 1\}$ , które spełnia równości

$x \cdot \mathcal A(\mathbf R)(x) = \mathcal A(\mathbf R)(x) \cdot x = \mathbf e$ dla $x \in |\mathcal A|$ .

Standardowym oznaczeniem $\mathcal A(\mathbf R)(x)$ jest $x - 1$ , niekiedy również $x^\prime$ , w notacji multyplikatywnej; element ten nazywa się wtedy elementem odwrotnym do $x$ . W notacji addytywnej element ten oznacza się symbolem $- x$ i nazywa elementem przeciwnym do $x$ .

Grupa to, innymi słowy, monoid z operacją brania elementu odwrotnego/przeciwnego .

Pierścień

Pierścień to algebra $\mathcal R$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{ring} = \left\langle \begin{array}{c|c|c|c}\mathbf A & \mathbf M & \mathbf N & \mathbf Z \\ \hline 2 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right\rangle$ , dla której redukt $\mathcal R|_{\{\mathbf A / \mathbf M, \mathbf N / \mathbf R, \mathbf Z / \mathbf E\}}$ jest grupą przemienną , a $\mathcal R|_{\{\mathbf M\}}$ jest półgrupą oraz spełnione są równości:

$x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$ i $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$ dla $x, y, z \in |\mathcal R|$ ,

gdzie

$x + y = \mathbf A^{\mathcal R}(x, y)$ ,

$x \cdot y = \mathbf M^{\mathcal R}(x,y)$ ,

$-x = \mathbf N^{\mathcal R}(x)$ ,

$0 = \mathbf Z^{\mathcal R}$

dla $x, y \in |\mathcal R|$ .

Działanie $\mathbf A^\mathcal R$ nazywamy dodawaniem pierścienia, a działanie $\mathbf M^\mathcal R$ jego mnożeniem.

Uwaga: W dowolnym pierścieniu zachodzi $0 \cdot x = x \cdot 0 = 0$ .; Ponieważ $0 \cdot x = (0 + 0) \cdot x = 0 \cdot x + 0 \cdot x$ , to $0 \cdot x = 0$ . Podobnie $x \cdot 0 = 0$ .

Pierścień, w którym działanie $\mathbf M^\mathcal R$ jest przemienne nazywa się pierścieniem przemiennym.

Pierścień z jedynką

Pierścień z jedynką to algebra $\mathcal R$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{ring1} = \varsigma_\mathbf{ring} \cup \{\mathbf J \mapsto 0\}$ , że $\mathcal R_{\{\mathbf A, \mathbf M, \mathbf N, \mathbf Z\}}$ jest pierścieniem, a $\mathcal R_{\{\mathbf M, \mathbf J / \mathbf E\}}$ jest monoidem.

Element $\mathbf J^\mathcal R$ nazywamy jedynką pierścienia $\mathcal R$ . Oznaczamy go zazwyczaj symbolem $1$ .

Pierścień z dzieleniem

Pierścień z dzieleniem to algebra $\mathcal R$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{ring1} \cup \{\mathbf R \mapsto 1\}$ , że $\mathcal R|_{\{\mathbf A, \mathbf M, \mathbf N, \mathbf Z\}}$ jest pierścieniem, a $\mathcal R|_{\{\mathbf M, \mathbf R, \mathbf J / \mathbf E\}}$ jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się oznaczenie:

$x^{-1} = \mathbf R^{\mathcal R}(x)$ , gdzie $x \in |\mathcal R|$ .

Ciało

Ciało to pierścień z dzieleniem z przemiennym działaniem mnożenia.

Krata

Kratą nazywamy algebrę $\mathcal K$ sygnatury $\varsigma_\mathbf{latt} = \{\mathbf A \mapsto 2, \mathbf K \mapsto 2\}$ , w której spełnione są równości:

$x \sqcap y = y \sqcap x, \quad x \sqcap (y \sqcap z) = (x \sqcap y) \sqcap z, \quad x \sqcap (x \sqcup y) = x$ ,

$x \sqcup y = y \sqcup x, \quad x \sqcup (y \sqcup z) = (x \sqcup y) \sqcup z, \quad x \sqcup (x \sqcap y) = x$ ,

gdzie użyto oznaczeń

$x \sqcup y = \mathcal K(\mathbf A)(x, y)$

oraz

$x \sqcap y = \mathcal K(\mathbf K)(x, y)$ .

Krata rozdzielna to krata spełniająca co najmniej jedną z równości (pozostała równość wynika z przyjętej):

$x \sqcap (y \sqcup z) = (x \sqcap y) \sqcup (x \sqcap z)$

bądź

$x \sqcup (y \sqcap z) = (x \sqcup y) \sqcap (x \sqcup z)$ .

Innym warunkiem, tak koniecznym jak i dostatecznym, na rozdzielność kraty jest zachodzenie równości:

$(x \sqcap y) \sqcup (y \sqcap z) \sqcup (y \sqcap z) = (x \sqcup y) \sqcap (y \sqcup z) \sqcap (y \sqcup z)$ , gdzie $x, y, z \in |\mathcal K|$ .

Krata jest nierozdzielna, gdy zawiera podkratę izomorficzną z jedną z poniższych krat:

Minimalne kraty nierozdzielne

Należy jednak być przezornym, niżej zaprezentowane kraty są rozdzielne:

To są kraty rozdzielne, mimo iż wydaje się, że zawierają wymienione wyżej kraty

Krata dualna

Redukt $\mathcal K^\mathbf{d}=\mathcal K|_{\{\mathbf{A}/\mathbf{K},\mathbf{K}/\mathbf{A}\}}$ jest także kratą. Kratę tę nazywamy kratą dualną do $\mathcal K$ . Krata dualna do kraty rozdzielnej jest kratą rozdzielną.

Krata z „zerem”

Krata z „zerem” to wzbogacenie kraty $\mathcal K$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{latt\_0} = \varsigma_\mathbf{latt} \cup \{\mathbf O \mapsto 0\}$ , w której spełnione są równości:

$x \sqcap \bot = \bot$ oraz $x \sqcup \bot = x$ ,

gdzie element $\bot = \mathcal K(\mathbf O)$ nazywa się spodem lub zerem kraty $\mathcal K$ .

Krata z „jedynką”

Krata z „jedynką” to wzbogacenie kraty $\mathcal K$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{latt\_1} = \varsigma_\mathbf{latt} \cup \{\mathbf I \mapsto 0\}$ , w której spełnione są równości:

$x \sqcap \top = x$ oraz $x \sqcup \top = \top$ ,

gdzie element $\top = \mathcal K(\mathbf I)$ nazywa się szczytem lub jedynką kraty $\mathcal K$ .

Krata ograniczona

Krata ograniczona to wzbogacenie kraty $\mathcal K$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{latt\_01} = \varsigma_\mathbf{latt} \cup \{\mathbf O \mapsto 0, \mathbf I \mapsto 0\}$ , że $\mathcal K|_{\{\mathbf A, \mathbf K, \mathbf O\}}$ jest kratą z zerem, a $\mathcal K|_{\{\mathbf A, \mathbf K, \mathbf I\}}$ jest kratą z jedynką.

Krata komplementarna

Krata komplementarna to wzbogacenie kraty ograniczonej do sygnatury $\varsigma_\mathbf{lcmpl} = \varsigma_\mathbf{latt\_01} \cup \{\mathbf N \mapsto 1\}$ , w której spełnione są równości:

$x \sqcap \neg x = \bot$ oraz $x \sqcup \neg x = \top$ ,

gdzie $\neg x = \mathcal K(\mathbf N)(x)$ nazywa się uzupełnieniem elementu $x$ w $\mathcal K$ .

Komplementarną kratę rozdzielną nazywa się algebrą Boole'a.

Redukt $\mathcal K^\mathbf{d}=\mathcal K|_{\{\mathbf{A}/\mathbf{K},\mathbf{K}/\mathbf{A},\mathbf{N},\mathbf{O}/\mathbf{I},\mathbf{I}/\mathbf{O}\}}$ jest także algebrą Boole'a. Algebrę tę nazywamy dualizacją algebry $\mathcal K$ .

Krata implikacyjna

Relacja $\leqslant$ zdefiniowana wzorem

$x \leqslant y \Leftrightarrow x \sqcap y = x$

definiuje w każdej kracie porządek zwany porządkiem kratowym, w którym operacje $\sqcap$ i $\sqcup$ są tożsame z operacjami infimum i supremum . Równoważnie porządek ten można zadać wzorem

$x \leqslant y \Leftrightarrow x \sqcup y = y$ .

Krata implikacyjna to wzbogacenie kraty $\mathcal K$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{limpl} = \varsigma_\mathbf{latt\_1} \cup \{\mathbf{C} \mapsto 2\}$ , w której zachodzi:

$x \sqcap z \leqslant y \Leftrightarrow z \leqslant x \to y$ ,

gdzie element $x \to y = \mathcal K(\mathbf{C})(x, y)$ nosi nazwę relatywnego pseudouzupełnienia elementu $x$ względem $y$ .

W kracie implikacyjnej zachodzi m.in. związek:

$x \to x = \top$ dla dowolnego $x \in |\mathcal K|$ .

Każda krata implikacyjna jest rozdzielna.

Algebra Heytinga

Algebra Heytinga to wzbogacenie kraty implikacyjnej $\mathcal K$ do sygnatury $\varsigma_\mathbf{LH} = \varsigma_\mathbf{limpl} \cup \{\mathbf O \mapsto 0, \mathbf N \mapsto 1\}$ , której redukt $\mathcal K|_{\{\mathbf A, \mathbf K, \mathbf O\}}$ jest kratą z zerem i w której zachodzi równość:

$\neg x = x \to \bot$ ,

gdzie $\neg x = \mathbf{N}^\mathcal{K}(x)$ dla $x \in |\mathcal K|$ .

Uwaga

Algebra Heytinga zazwyczaj nie jest wzbogaceniem algebry Boole'a:

Przykład algebry Heytinga, która nie jest algebrą Boole'a

Algebra Łukasiewicza

Ta sekcja jest . Jeśli możesz, .

Zobacz też

Inne hasła zawierające informacje o "Algebra ogólna":

Wincenty Okołowicz ...

Oddychanie komórkowe ...

Grzyby ...

Tapiseria ...

Włosi ...

Nowa Polityka Ekonomiczna ...

Larwa ...

Symetria budowy ciała organizmu ...

Bóbr europejski ...

Almagest ...

Inne lekcje zawierające informacje o "Algebra ogólna":

02c Pojęcia podstawowe - część 3 (plansza 11) ...

012. Islam (plansza 12) ...

Tworzenie wyrażeń algebraicznych (plansza 3) ...

Publikacje nauczycieli

Logowanie i rejestracja

Załóż nowe konto za darmo » Odzyskaj stracone hasło

Czy wiesz, że...

Powierzchnia ciała dorosłego człowieka wynosi około 2 m², podczas gdy objętość zaledwie 0,06 m³.

ciało człowiek metr

Rodzaje szkół

AP Edukacja - licea
i szkoły policealne

Publikacje nauczycieli

Kontakt

Formularz dodania
szkoły do katalogu

Ogólnopolski Katalog Szkolnictwa
www.szkolnictwo.pl
ul. Kaszubska 10/16
75-036 Koszalin

Wszelkie pytania, uwagi i zmiany w katalogu prosimy kierować do:

	zmiany@szkolnictwo.pl

Wszelkie pytania, uwagi dotyczące Platformy Edukacyjnej prosimy kierować do:

	platforma@szkolnictwo.pl

Konta bankowe dla klientów katalogu szkolnictwo.pl:

Pełny ekran >>>

Wiadomości

Reklama

zamów reklamę >>>

Dodaj szkołę

Formularz dodania
szkoły do katalogu

Nauka

	Język angielski
Słówka - testy Słówka - lekcje Testy po angielsku Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Testy na prawo jazdy
Kategoria B - lekcje Kategoria B - testy do lekcji Testy do egzaminu

	Język niemiecki
Słówka - testy Słówka - lekcje Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Matematyka
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Konkurs "Kangur Matematyczny"

	Geografia
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Państwa świata

	Chemia
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Język hiszpański
Słówka

	Prawo
Egzamin konkursowy dla kandydatów na aplikantów

	Język polski
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Liceum - testy do lektur Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Ortografia - testy

	Historia
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji

	Biologia
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Fizyka i astronomia
Zadania do matury Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Informatyka
Informatyka - zadania do matury Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Wiedza o społeczeństwie
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Podstawy przedsiębiorczości
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Język angielski
	Filozofia
	Testy na prawo jazdy
	Język niemiecki
	Matematyka
	Geografia
	Chemia
	Język hiszpański
	Prawo
	Język polski
	Historia
	Biologia
	Fizyka i astronomia
	Informatyka
	Wiedza o społeczeństwie
	Podstawy przedsiębiorczości
	Egzaminy Zawodowe
	Materiały szkół

www.szkolnictwo.pl

Algebra ogólna

Spis treści

Definicja

Przykłady

Redukty i wzbogacenia

Przykłady

Redukty nieproste

Przykłady

Podalgebry

Przykłady

Homomorfizmy

Przykłady

Kongruencje, zasadnicze twierdzenie algebry

Przykład

Algebra ilorazowa

Zasadnicze twierdzenie algebry

Szczególne algebry

Zbiór

Zbiór z wyróżnionym punktem

Algebra unarna

Grupoid

Quasi-grupa

Lupa

Półgrupa

Monoid

Grupa

Pierścień

Pierścień z jedynką

Pierścień z dzieleniem

Ciało

Krata

Krata dualna

Krata z „zerem”

Krata z „jedynką”

Krata ograniczona

Krata komplementarna

Krata implikacyjna

Algebra Heytinga

Algebra Łukasiewicza

Zobacz też

Publikacje nauczycieli

Logowanie i rejestracja

Czy wiesz, że...

Rodzaje szkół

Kontakt

Wiadomości

Reklama

Dodaj szkołę

Nauka