Przykład tablic arytmetycznych z XIX w.

Arytmetyka ( łac. arithmetic, gr. αριθμητική arithmētikē, od αριθμητικός arithmētikos – arytmetyczna, od αριθμειν arithmein – liczyć, od αριθμός arithmós – liczba; spokr. ze staroang. rīm – liczba, i być z gr. αραρισκειν arariskein – pasować) – najstarsza część matematyki . W powszechnym użyciu słowo to odnosi się do zasad opisujących podstawowe działania na liczbach (arytmetyka elementarna).

Historia

Nasza wiedza o prehistorii arytmetyki jest ograniczona do kilku niewielkich artefaktów udowadniających posługiwanie się pojęciami dodawania i odejmowania przez ludy neolityczne. Najbardziej znanym jest Kość z Ishango datowana na 18 000 lat przed naszą erą.

Nie ma wątpliwości, że Babilończycy posiadali szeroką wiedzę w niemal wszystkich aspektach elementarnej arytmetyki już dwa tysiące lat przed naszą erą (patrz Plimpton 322). W papirusach ze starożytnego Egiptu pochodzących z XVII wieku p.n.e. można znaleźć dokładne algorytmy mnożenia i używania ułamków .

Pitagorejczycy w szóstym wieku p.n.e. uznawali arytmetykę za jedną z czterech najważniejszych nauk. Znalazło to odbicie również w programie średniowiecznych uniwersytetów jako element Quadrivium, które razem z Trivium utworzyło siedem sztuk wyzwolonych .

Współczesne algorytmy arytmetyczne (zarówno do obliczeń pisemnych jak i elektronicznych) opierają się na cyfrach arabskich i pozycyjnym systemie liczbowym . Choć dzisiaj wydaje się oczywisty, jego prostota jest kulminacją tysięcy lat rozwoju matematyki. Przykładowo Archimedes poświęcił całą pracę O liczeniu piasku wymyśleniu notacji dla zapisu wielkich liczb. Rozwój algebry w średniowiecznym świecie islamskim i w renesansowej Europie został umożliwiony przez znaczne uproszczenie obliczeń w systemie dziesiętnym.

Arytmetyka dziesiętna

System dziesiętny pozwala zapisywać liczby za pomocą dziesięciu cyfr : 0,1,2, …, 9. Liczba w takim zapisie jest sekwencją cyfr, w której znaczenie każdej cyfry zależy od jej położenia w stosunku do przecinka: przykładowo 507,36 oznacza 5 setek (10²), plus 0 dziesiątek (10¹), plus 7 jednostek (10⁰), plus 3 dziesiąte (10^-1) plus 6 setnych (10^-2). Kluczową częścią tego zapisu (i jednym z głównych odkryć umożliwiających jego wprowadzenie) jest zastosowanie symbolu 0 mogącego pełnić tę samą rolę co inne cyfry.

Warto zauważyć, że ani system dziesiętny, ani żaden inny, nie pozwalają dla dowolnej liczby rzeczywistej na dokładne jej zapisanie – w przypadku liczb niewymiernych zapis po przecinku nie jest okresowy, dokładne jej wyrażenie wymagałoby więc nieskończonej liczby cyfr.

Operacje arytmetyczne

Tradycyjne operacje arytmetyczne to dodawanie , odejmowanie , mnożenie i dzielenie . Czasem dodaje się do tej listy takie operacje jak procent , pierwiastek kwadratowy , potęga i logarytm . Arytmetyka wymaga wykonywania ich zgodnie z kolejnością działań . Każdy zbiór obiektów dla których można wykonać cztery podstawowe operacje (poza dzieleniem przez zero ) i gdzie te operacje spełniają pewne podstawowe prawa nazywamy ciałem .

Arytmetyka w edukacji

Edukacja podstawowa w matematyce kładzie zwykle duży nacisk na nauczanie arytmetyki liczb naturalnych , całkowitych i wymiernych (w postaci ułamków zwykłych i dziesiętnych ). Trudność i brak wytłumaczonej motywacji wprowadzania tych działań prowadziła wielokrotnie do kwestionowania ich obecności w programie nauczania.

Od czasu wprowadzenia elektronicznych kalkulatorów , które potrafią wykonywać algorytmy znacznie szybciej niż człowiek, pojawia się wiele opinii że mistrzowskie posługiwanie się arytmetyką nie jest już istotne dla uczniów. W tym ujęciu, pierwsze lata nauki powinny być poświęcane na zrozumienie bardziej skomplikowanych pojęć dotyczących zastosowania liczb, powiązań pomiędzy nimi, wyników pomiarów itp. Obecnie jednak przeważa nadal opinia że biegłe posługiwanie się algorytmami arytmetycznymi jest niezbędne dla dalszej edukacji w matematyce.

Zobacz też

• średnia arytmetyczna
• ciąg arytmetyczny
• kodowanie arytmetyczne
• podstawowe twierdzenie arytmetyki
• teoria liczb