Startuj z nami!

www.szkolnictwo.pl

praca, nauka, rozrywka....

mapa polskich szkół
Nauka Nauka
Uczelnie Uczelnie
Mój profil / Znajomi Mój profil/Znajomi
Poczta Poczta/Dokumenty
Przewodnik Przewodnik
Nauka Konkurs
uczelnie

zamów reklamę
zobacz szczegóły
uczelnie

Nie znaleziono szukanej frazy! Poniżej znajduje się fraza najbardziej przypominająca szukaną.

Diagram Cichonia

Diagram Cichonia

Diagram Cichonia to pojęcie w teorii mnogości , oznaczające tablicę utworzoną przez dziesięć liczb kardynalnych , związanych ze strukturą ideałów zbiorów pierwszej kategorii i zbiorów miary zero na prostej rzeczywistej , oraz ze strukturą przestrzeni Baire'a {\mathbb N}^{\mathbb N} (tzn przestrzeni wszystkich ciągów liczb naturalnych ).

Spis treści

Definicje

Niech I będzie ideałem podzbiorów X, do którego należą wszystkie podzbiory jednopunktowe. Definiujemy współczynniki kardynalne ideału I następująco :

  • {\rm add}(I)=\min\{|{\mathcal A}|: {\mathcal A}\subseteq I \wedge \bigcup{\mathcal A}\notin I\big\}.
(Innymi słowy, liczba kardynalna add(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile zbiorów należących do ideału I musimy połączyć, aby dostać zbiór nie należący do ideału?")
  • {\rm cov}(I)=\min\{|{\mathcal A}|:{\mathcal A}\subseteq I \wedge\bigcup{\mathcal A}=X\big\}.
(cov(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, aby pokryć cały zbiór X?")
  • {\rm non}(I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \wedge\ A\notin I\big\},
(non(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile elementów ma najmnieszy zbiór nie należący do I?")
  • {\rm cof}(I)=\min\{|{\mathcal B}|:{\mathcal B}\subseteq I \wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal B})(A\subseteq B)\big\}.
(cof(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, by wygenerować cały ideał I?")

Definiujemy także następujące dwie liczby kardynalne (nazywane liczbą nieograniczoną i liczbą dominującą, odpowiednio):

  • {\mathfrak b}=\min\big\{|F|:F\subseteq{\mathbb N}^{\mathbb N}\ \wedge\ (\forall g\in {\mathbb N}^{\mathbb N})(\exists f\in F)(\exists^\infty n\in{\mathbb N})(g(n)<f(n))\big\},
  • {\mathfrak d}=\min\big\{|F|:F\subseteq{\mathbb N}^{\mathbb N}\ \wedge\ (\forall g\in{\mathbb N}^{\mathbb N})(\exists f\in F)(\forall^\infty n\in{\mathbb N})(g(n)<f(n))\big\},

gdzie "\exists^\infty n\in{\mathbb N}" oznacza "istnieje nieskończenie wiele takich n\in{\mathbb N}, że" oraz "\forall^\infty n\in{\mathbb N}" oznacza "dla wszystkich, oprócz skończenie wielu n\in{\mathbb N} mamy, że".

Diagram

Niech {\mathcal K} będzie σ-ideałem tych podzbiorów prostej rzeczywistej, które są pierwszej kategorii Baire'a, oraz niech {\mathcal L} oznacza σ-ideał zbiorów miary Lebesgue'a zero na prostej. Wówczas zachodzą następujące nierówności, gdzie każda strzałka "\longrightarrow" zastępuje znak nierówności "\leqslant":

{\rm cov}({\mathcal L})\longrightarrow{\rm non}({\mathcal K})\longrightarrow{\rm cof}({\mathcal K})\longrightarrow{\rm cof}({\mathcal L})\longrightarrow2^{\aleph_0}
 \Bigg\uparrow    \uparrow\uparrow \Bigg\uparrow
{\mathfrak b}\longrightarrow{\mathfrak d}
\uparrow\uparrow
\aleph_1\longrightarrow{\rm add}({\mathcal L})\longrightarrow{\rm add}({\mathcal K})\longrightarrow{\rm cov}({\mathcal K})\longrightarrow{\rm non}({\mathcal L})


Z powyższym diagramem związane są dwie dodatkowe zależności:

{\rm add}({\mathcal K})=\min\{{\rm cov}({\mathcal K}),{\mathfrak b}\} oraz {\rm cof}({\mathcal K})=\min\{{\rm non}({\mathcal K}),{\mathfrak d}\}.

Okazuje się, że każde rozmieszczenie wartości \aleph_1 i \aleph_2 w diagramie, które jest zgodne z nierównościami i powyższymi dwoma równościami jest niesprzeczne z ZFC . Aksjomat Martina implikuje że {\rm add}({\mathcal L})=2^{\aleph_0} (a więc i pozostałe współczynniki są równe 2^{\aleph_0}), CH oczywiście implikuje że wszystkie liczby w diagramie są równe \aleph_1.

Uwagi

Nazwa diagramu była wprowadzona przez brytyjskiego matematyka Dawida Fremlina[1] dla uhonorowania wkładu wrocławskiego matematyka Jacka Cichonia i jego grupy w rozwój tej części teorii mnogości. Należy jednak podkreślić, że ostateczny kształt diagramu jest wynikiem pracy wielu matematyków polskich i zagranicznych. W miarę aktualny stan badań w tej i pokrewnych dziedzin jest przedstawiony w monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha [2]

Dowody nierówności związanych z diagramem Cichonia są bardzo efektywne i mówią o strukturze miary i kategorii więcej niż wynika to z nierównowności pomiędzy odpowiednimi liczbami kardynalnymi. Dlatego są też rozważane wersje diagramu dla własności rozszerzeń modeli teorii mnogości[3] oraz dla własności pewnych rodzin zbiorów "małych"[4].

Bibliografia

  1. Fremlin, David H.: Cichon's diagram, "Publ. Math. Univ. Pierre Marie Curie" 66, Sémin. Initiation Anal. 23ème Année-1983/84, Exp. No.5, 13 p. (1984). Zbl 0559.03029
  2. Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim: Set theory. On the structure of the real line.A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. xii+546 pp.
  3. Pawlikowski, Janusz: Why Solovay real produces Cohen real, "J. Symbolic Logic" 51 (1986), s. 957-968.
  4. Pawlikowski, Janusz; Recław, Ireneusz: Parametrized Cichoń's diagram and small sets, " Fundamenta Mathematicae " 147 (1995), s. 135-155.


Inne hasła zawierające informacje o "Diagram Cichonia":

Układ nerwowy ...

Tytan (pierwiastek) ...

Aksjomat Martina ...

Zbiór miary zero ...

Zbiór pierwszej kategorii ...

Tomek Bartoszyński ...

Diagram Cichonia Diagram Cichonia to pojęcie w teorii mnogości , oznaczające tablicę utworzoną przez dziesięć ...

Algebra Boole'a ...

Ideał (teoria mnogości) latach 80. XX wieku . Są one głównymi elementami tzw. diagramu Cichonia . Zobacz też Filtr Diagram Cichonia ...

Zespół Downa ...


Inne lekcje zawierające informacje o "Diagram Cichonia":

004. Kartograficzne metody badań i graficzna prezentacja wyników badań geograficznych (plansza 11) ...

Pogoda i zróźnicowanie klimatyczne świata (plansza 20) ...

Język mapy (plansza 14) ...





Zachodniopomorskie Pomorskie Warmińsko-Mazurskie Podlaskie Mazowieckie Lubelskie Kujawsko-Pomorskie Wielkopolskie Lubuskie Łódzkie Świętokrzyskie Podkarpackie Małopolskie Śląskie Opolskie Dolnośląskie