Diagram Cichonia to pojęcie w
teorii mnogości
, oznaczające tablicę utworzoną przez dziesięć
liczb kardynalnych
, związanych ze strukturą
ideałów
zbiorów
pierwszej kategorii
i zbiorów
miary zero
na
prostej rzeczywistej
, oraz ze strukturą
przestrzeni Baire'a
(tzn przestrzeni wszystkich ciągów
liczb naturalnych
).
Definicje
Niech I będzie ideałem podzbiorów X, do którego należą wszystkie podzbiory jednopunktowe. Definiujemy współczynniki kardynalne ideału I następująco :
.
- (Innymi słowy, liczba kardynalna add(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile zbiorów należących do ideału I musimy połączyć, aby dostać zbiór nie należący do ideału?")
.
- (cov(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, aby pokryć cały zbiór X?")
,
- (non(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile elementów ma najmnieszy zbiór nie należący do I?")
- (cof(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, by wygenerować cały ideał I?")
Definiujemy także następujące dwie liczby kardynalne (nazywane liczbą nieograniczoną i liczbą dominującą, odpowiednio):
,
,
gdzie "
" oznacza "istnieje nieskończenie wiele takich
, że" oraz "
" oznacza "dla wszystkich, oprócz skończenie wielu
mamy, że".
Diagram
Niech
będzie σ-ideałem tych podzbiorów prostej rzeczywistej, które są pierwszej kategorii Baire'a, oraz niech
oznacza σ-ideał zbiorów miary Lebesgue'a zero na prostej. Wówczas zachodzą następujące nierówności, gdzie każda strzałka "
" zastępuje znak nierówności "
":
Z powyższym diagramem związane są dwie dodatkowe zależności:
oraz
.
Okazuje się, że każde rozmieszczenie wartości
i
w diagramie, które jest zgodne z nierównościami i powyższymi dwoma równościami jest niesprzeczne z
ZFC
.
Aksjomat Martina
implikuje że
(a więc i pozostałe współczynniki są równe
),
CH
oczywiście implikuje że wszystkie liczby w diagramie są równe
.
Uwagi
Nazwa diagramu była wprowadzona przez
brytyjskiego
matematyka Dawida Fremlina[1] dla uhonorowania wkładu
wrocławskiego
matematyka
Jacka Cichonia
i jego grupy w rozwój tej części teorii mnogości. Należy jednak podkreślić, że ostateczny kształt diagramu jest wynikiem pracy wielu matematyków polskich i zagranicznych. W miarę aktualny stan badań w tej i pokrewnych dziedzin jest przedstawiony w monografii
Tomka Bartoszyńskiego
i Haima Judaha [2]
Dowody nierówności związanych z diagramem Cichonia są bardzo efektywne i mówią o strukturze miary i kategorii więcej niż wynika to z nierównowności pomiędzy odpowiednimi liczbami kardynalnymi. Dlatego są też rozważane wersje diagramu dla własności rozszerzeń modeli teorii mnogości[3] oraz dla własności pewnych rodzin zbiorów "małych"[4].
Bibliografia
- ↑ Fremlin, David H.: Cichon's diagram, "Publ. Math. Univ. Pierre Marie Curie" 66, Sémin. Initiation Anal. 23ème Année-1983/84, Exp. No.5, 13 p. (1984). Zbl 0559.03029
- ↑ Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim: Set theory. On the structure of the real line.A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. xii+546 pp.
- ↑ Pawlikowski, Janusz: Why Solovay real produces Cohen real, "J. Symbolic Logic" 51 (1986), s. 957-968.
- ↑ Pawlikowski, Janusz; Recław, Ireneusz: Parametrized Cichoń's diagram and small sets, "
Fundamenta Mathematicae
" 147 (1995), s. 135-155.