Funkcja

Funkcja

Funkcja – intuicyjnie: sposób przyporządkowania każdemu elementowi danego zbioru X dokładnie jednego elementu pewnego zbioru Y.

Ściśle funkcja jest definiowana jako relacja pomiędzy elementami zbioru X (dziedziny) i elementami zbioru Y (przeciwdziedziny), o tej własności, że każdy element zbioru X jest w relacji z dokładnie jednym elementem zbioru Y.

Przykłady i najważniejsze powiązane pojęcia

Załóżmy, że między dwoma liczbami całkowitymi $x\,$ i $y\,$ zachodzi związek $y = 2x\,$ . Ta zależność pozwala jednoznacznie wyznaczyć $y\,$ mając dany $x\,$ , np. dla $x = 5\,$ mamy $y = 10\,$ , dla $x = 2\,$ mamy $y = 4\,$ . Jest to zatem funkcja.

Każda funkcja przyporządkowuje argumentom (tutaj oznaczanym $x\,$ ) odpowiadające im wartości (tutaj oznaczane $y$ ). Oznaczając funkcję literą $f\,$ , wartość dla argumentu $x$ zapisuje się $f(x)\,$ (czyt. "f od x")^[1]. Tak więc dla argumentu $5\,$ wartością funkcji $f\,$ jest $10\,$ , czyli $f(5) = 10\,$ .

Dziedziną funkcji nazywa się zbiór wszystkich argumentów, a zbiorem wartości (obrazem) zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję; w tym przykładzie dziedziną jest zbiór liczb całkowitych, a zbiorem wartości zbiór liczb parzystych. Często wymaga się podania przeciwdziedziny, która zawiera zbiór wartości, lecz nie musi być mu równa^[2]. Jeżeli w podanym tu przykładzie za przeciwdziedzinę obierzemy zbiór liczb całkowitych, to liczby nieparzyste nie będą w zbiorze wartości.

Zdanie " $f$ jest funkcją o dziedzinie $X\,$ i przeciwdziedzinie $Y\,$ " zapisuje się $f\colon X \to Y\,$ , zbiór wszystkich funkcji $X \to Y\,$ zapisuje się $Y^X\,$ .

Funkcje nie muszą odnosić się do liczb. Przykłady:

przyporządkowanie każdemu ciału fizycznemu jego środka ciężkości ,
przyporządkowanie każdemu mieszkańcowi miasta jego pierwszego imienia,
symetria względem pewnej prostej,
symetria względem pewnego punktu.

Nazwa

W matematyce określenia: funkcja, przekształcenie, odwzorowanie, transformacja, operator, działanie, itd. są zwykle synonimami. Jednakże w różnych dyscyplinach matematycznych preferowane jest używanie niektórych z nich, znaczenie niektórych zostało zaś zawężone. Użycie konkretnej nazwy podyktowane jest dzisiaj przede wszystkim względami historycznymi.

Choć w analizie matematycznej rozpatruje się przede wszystkim funkcje, to w geometrii , algebrze liniowej mówi się o przekształceniach ( przekształceniach liniowych ), w algebrze uniwersalnej rozważa się z kolei działania , zaś w analizie funkcjonalnej bada się własności operatorów, czy funkcjonałów .

Sposoby określenia funkcji

Funkcja przedstawiona jako graf. Każdemu argumentowi ze zbioru $X\,$ przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru $Y\,$ . Dwóm różnym elementom w $X\,$ może odpowiadać ten sam element $Y\,$ . Nie każdy element zbioru $Y\,$ musi być wartością funkcji.

Jeżeli dziedzina $X\,$ jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Najczęściej funkcje definiuje się wzorem lub ogólniej – algorytmem ^[3], tj. metodą pozwalającą znaleźć $f(x)\,$ dla danego $x \in X\,$ . Możliwe jest użycie rekursji , rozwinięcia w szereg potęgowy itp.

Czasem można określić funkcję opisem słownym, który bywa niekiedy wygodniejszy, np. "każdej liczbie całkowitej dodatniej $n\,$ przyporządkowujemy $n\,$ -tą liczbę pierwszą".

W matematyce stosowanej funkcje często określa się za pomocą tabeli lub wykresu. Nie pozwala to na ogół ustalić dokładnej zależności, lecz przy pewnych założeniach możliwa jest ich interpolacja (przybliżanie), całkowanie numeryczne itp.

Pojęcia

Złożenie. Iteracja

Dwie funkcje

f

g

. Ich złożenie przyjmuje wartości:
$(g \circ f)(\mbox{a})=$ @
$(g \circ f)(\mbox{b})=$ @
$(g \circ f)(\mbox{c})=$ #
$(g \circ f)(\mbox{d})=$ !!

Mając dwie funkcje $f\colon X \to Y$ i $g\colon Y \to Z$ , można utworzyć funkcję złożoną $(g \circ f)\colon X \to Z$ , określoną wzorem $(g \circ f)(x) = g\left(f(x)\right)$ .

Wielokrotne złożenie funkcji $f\colon X \to X$ nosi nazwę iteracji. Ściśle: $n$ -tą iteracją funkcji $f$ nazywa się funkcję

$f^n = \begin{matrix}\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}\\{n}\\[-4ex]\end{matrix}.$

Funkcja różnowartościowa

Funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się funkcją różnowartościową (iniekcją), gdy dla każdych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości. Symbolicznie:

$\forall_{x_1,x_2\in X}\; x_1 \ne x_2 \implies f(x_1) \ne f(x_2)$

Przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja określona wzorem $f\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; f(x) = x + 5$ .

Funkcja "na"

Funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się funkcją "na" (suriekcją), jeżeli jej przeciwdziedzina $Y$ jest równocześnie jej zbiorem wartości. Oznacza to, że dla każdego $y \in Y$ istnieje co najmniej jedno $x \in X$ takie, że $f (x) = y$ .

Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Funkcję będącą jednocześnie różnowartościową i "na" nazywa się funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją). Innymi słowy, bijekcja przyporządkowuje każdemu $x \in X$ dokładnie jedno $y \in Y$ (i na odwrót). Bijekcja $f\colon X \to Y$ może istnieć tylko wtedy, gdy zbiory $X$ i $Y$ mają tyle samo elementów (są równej mocy ). Bijekcję $f\colon X \to X$ nazywa się permutacją.

Funkcja odwrotna

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję $f^{-1}\colon Y \to X$ taką, że $(f \circ f^{-1})(x) = x$ , którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

Punkt stały

Jeżeli dla pewnego $x \in X$ zachodzi $f (x) = x$ , wtedy $x$ nazywa się punktem stałym funkcji $f$ . Przykładowo, jeżeli $S l$ jest symetrią względem prostej $l$ , to dla punktów $P$ leżących na $l$ zachodzi $S l (P) = P$ .

Niezmiennik

Jeżeli funkcja nie zmienia pewnej cechy obiektów, to tę cechę nazywa się niezmiennikiem funkcji. Przykładowo, niezmiennikiem funkcji $f\colon\mathbb R \to \mathbb R,\; f(x) = -x$ jest wartość bezwzględna liczby rzeczywistej. Istotnie: $| f (x) | = | - x | = | x |$ . Niezmiennikiem funkcji $f (x) = 2 x$ jest znak liczby : wartość funkcji dla liczby dodatniej jest liczbą dodatnią, dla zera jest równa zeru, dla liczby ujemnej jest liczbą ujemną.

Obraz

Obrazem zbioru $A \subseteq X$ poprzez funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się podzbiór elementów $y \in Y$ , dla których istnieje $x \in A$ że $f (x) = y$ . Symbolicznie:

$f(A) = \left\{y \in Y\colon \exists_{x \in A}\; y = f(x)\right\} \subseteq Y$

Przykładowo, obrazem zbioru liczb dodatnich poprzez funkcję $f (x) = - x$ jest zbiór liczb ujemnych. Obrazem dziedziny funkcji poprzez tę funkcję jest jej zbiór wartości nazywany również obrazem funkcji.

Przeciwobraz

Przeciwobrazem zbioru $B \subseteq Y$ nazywa się zbiór argumentów $x \in X$ , którym są przyporządkowane elementy zbioru $B$ :

$f^{-1}(B) = \left\{x \in X\colon \exist_{y \in B}\; f(x) = y\right\} \subseteq X$ .

Zawężenie i przedłużenie

Mając daną funkcję $f\colon X \to Y$ można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem, do zbioru $M \subseteq X$ . Jest to funkcja $f|_M\colon M \to Y$ taka, że $f|_M(x) = f(x)\,$ dla każdego $x \in M$ .

Jeżeli $f\colon X \to Y$ jest funkcją, a $f|_M\colon M \to Y$ jest jej zawężeniem do zbioru $M \subset X$ , to dla dowolnego zbioru $B \subset Y$ mamy $\left(f|_M \right)^{-1} (B) = M \cap f^{-1}(B)$ .

Z drugiej strony, dla $M \subset X$ , można przedłużyć funkcję $f\colon M \to Y$ zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję $g\colon X \to Y$ . Można np. wymagać, by przedłużenie $g$ funkcji $f$ było ciągłe , różniczkowalne lub okresowe .

Wykres

Wykresem funkcji $f$ na zbiorze $A \subseteq X$ nazywa się zbiór par uporządkowanych $\left(x, f(x)\right)$ dla wszystkich $x \in A,$ tzn. zbiór

$W_f(A) = \left\{\left(x, f(x)\right)\colon x \in A \right\} \subseteq X \times Y$ .

Wykres funkcji $W f (A)$ nie jest tym samym co jej obraz $f (A)$ – pierwszy z nich jest zbiorem par uporządkowanych elementów dziedziny i przeciwdziedziny (argumentów i ich obrazów), drugi zaś wyłącznie podzbiorem przeciwdziedziny.

Funkcje w analizie matematycznej

Funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej nazywa się każdą funkcję $f\colon X \to Y$ gdzie $X, Y \subseteq \mathbb R$ . Podobnie definiuje się funkcję zespoloną zmiennej zespolonej. Funkcje te są rozważane głównie w działach analizy matematycznej : analizie rzeczywistej i analizie zespolonej .

Na takich funkcjach można wykonywać działania, o ile tylko $x$ należy zarówno do dziedziny $f$ jak i dziedziny $g$ :

$(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$
$(f g)(x) = f (x) g (x)$
$\left(\tfrac{f}{g}\right)(x) = \tfrac{f(x)}{g(x)}$ dla $g(x) \ne 0$

Matematycznym modelem zbioru funkcji z określonymi działaniami jest przestrzeń funkcyjna .

Rodzaje

Niektóre szczególne rodzaje funkcji:

funkcje monotoniczne – wartości dla kolejnych argumentów są coraz większe, mniejsze, nie mniejsze, lub nie większe;
funkcje ograniczone – zbiór wartości jest ograniczony ;
funkcje parzyste i nieparzyste – wykres jest symetryczny względem osi $O Y$ (dla funkcji parzystej) bądź początku układu współrzędnych (dla funkcji nieparzystej);
funkcje okresowe – wartości „powtarzają się” co pewną ustaloną wartość nazwaną okresem;
funkcje ciągłe – zachowujące bliskość argumentów (ich wykres można nakreślić „bez odrywania ołówka od kartki”);
funkcje różniczkowalne – mające pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny.

Zobacz też: funkcje elementarne , funkcje specjalne , badanie przebiegu zmienności funkcji , granica funkcji .

Definicja

Intuicyjna definicja funkcji jako przyporządkowania jest używana również dzisiaj, np. w podręcznikach wprowadzających do analizy matematycznej. Jest ona wystarczająca dla dużej liczby zastosowań, lecz używa pojęcia „przyporządkowania”, którego sens trudno oddać formalnie. Poniżej podano definicję, nie zawierającą takiej nieścisłości.

Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywa się podzbiór iloczynu kartezjańskiego $W \subseteq X \times Y$ ( relację dwuargumentową ) spełniający warunki

$\forall_{x \in X}\; \exists_{y \in Y}\; (x,y)\in W,$

$\forall_{x \in X}\; \forall_{y \in Y}\; \forall_{z \in Y}\; (x,y)\in W \and (x,z)\in W \Rightarrow y = z,$

czyli

każdy element zbioru

X

musi być w relacji z dokładnie jednym elementem zbioru

Y .

Zbiór $X$ nazywa się dziedziną, a zbiór $Y$ – przeciwdziedziną funkcji $f .$ Zbiór $W$ nazywa się wykresem funkcji $f .$

Jeżeli $x \in X,$ to element $y$ dla którego $(x, y)\in W,$ nazywa się wartością funkcji dla elementu (w punkcie) $x,$ co zapisuje się $f (x) = y .$ Z definicji wynika, że $y$ jest wyznaczone jednoznacznie. Dla $x \notin X$ symbol $f (x)$ jest nieokreślony.

Przy określaniu funkcji należy podać przeciwdziedzinę, ponieważ nie wyznacza jej zbiór $W$ . Jednak często (np. w teorii mnogości ) funkcje i ich wykresy są utożsamiane; wówczas podanie przeciwdziedziny nie jest wymagane. Niekiedy funkcję definiuje się jako trójkę uporządkowaną $(X,\; Y,\; f)$ ; przy takiej definicji, funkcje o różnych przeciwdziedzinach uważa się za różne.

Funkcje jako struktury

Funkcje odgrywają ważną rolę w matematyce jako środki pomocnicze do tworzenia innych struktur (układów).

Przykład: Zapiszmy liczby $4,5,6,7$ w tabeli $2 \times 2:$

$\begin{pmatrix} 4 & 5\\ 6 & 7\\ \end{pmatrix}$

Taką tabelę można przedstawić w postaci funkcji, która przyporządkowuje każdemu miejscu w tabeli jedną z liczb. Poszczególne miejsca będą reprezentowane jako pary

(i, j)

oznaczające numer wiersza i kolumny:

$(2, 1) \mapsto 6$

Ogólnie każdą taką tabelę można zapisać w postaci funkcji

$\{(1, 1),\ (1, 2),\ (2, 1),\ (2, 2)\} \to \mathbb R,\quad (i,j )\mapsto a_{ij};$

wtedy będą znajdować się w niej liczby

a 11

a 12

a 21

a 22

W taki sposób definiuje się obiekty takie jak ciągi i macierze . Należy pamiętać o różnicach w nomenklaturze: mimo że ciągi i macierze są funkcjami, to mówi się o "wyrazach" i "wskaźnikach", a nie "wartościach" i "argumentach" ciągu, "elementach", a nie "wartościach" macierzy.

Równania funkcyjne

Równanie funkcyjne to równanie, w którym niewiadomą jest funkcja. Przykładami mogą być równania różniczkowe i równania całkowe .

Uogólnienia

Funkcje wielu zmiennych

Jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór par uporządkowanych $(x, y)$ , to można mówić o funkcji dwóch zmiennych. Przykładowo, jeżeli każdej parze $(x, y)$ liczb całkowitych przyporządkujemy ich iloczyn $x y$ , można mówić o funkcji

f ((x, y)) = x y,

definiującej działanie mnożenia w tym zbiorze; zwykle jednak stosuje się notację

f (x, y) = x y .

W geometrii przykładem funkcji dwóch zmiennych jest odległość . W analogiczny sposób definiuje się funkcje większej liczby zmiennych.

Funkcje wielowartościowe

Z definicji funkcja przypisuje każdemu elementowi dziedziny dokładnie jeden element przeciwdziedziny. Wprowadzono jednak również tzw. funkcje wielowartościowe lub multifunkcje, które danemu elementowi dziedziny przypisują więcej niż jeden element przeciwdziedziny. Należą do nich przykładowo rozważane w analizie zespolonej funkcje $ln x$ , $arcsin x$ , $x 1 / n$ (w gruncie rzeczy zależą one wszystkie od funkcji argumentu $arg x$ ).

Chcąc rozważać jednocześnie wszystkie możliwe wartości takich funkcji wprowadza się tzw. funkcje wielowartościowe lub wielolistne^[] (multifunkcje), dla odróżnienia klasyczne funkcje nazywa się czasami funkcjami jednowartościowymi lub jednolistnymi^[]. Każda funkcja wielowartościowa ze zbioru $X$ w $Y$ może być przedstawiona jako funkcja jednowartościowa ze zbioru $X$ w zbiór potęgowy $\mathcal{P}(Y)$ .

Funkcje wielowartościowe pojawiają się też w innych kontekstach, np. za funkcję wielowartościową można uważać także operator całkowania ,

$\int f(x)dx = F(x) + C$ ,

którego wartościami są rodziny funkcji pierwotnych .

Funkcje częściowe

Dystrybucje

Morfizmy

Na funkcję można patrzeć jako na przekształcenie

$f \colon a \to b$

jednego obiektu w drugi. Ten punkt widzenia uogólnia teoria kategorii przez pojęcie morfizmu.

Przykładowo, obiekty $a$ i $b$ mogą być zbiorami, a $f$ funkcją $f \colon a \to b$ ; $a$ i $b$ mogą być zbiorami uporządkowanymi, a $f$ funkcją monotoniczną; $a$ i $b$ strukturami algebraicznymi, a $f$ homomorfizmem; $a$ i $b$ formułami, a $f$ wyprowadzeniem (dowodem) $b$ z $a$ ; $a$ i $b$ liczbami naturalnymi, a $f$ macierzą $b \times a$ . We wszystkich przypadkach dla każdego obiektu mamy morfizm identycznościowy (np. identyczność, dowód pusty, macierz jednostkowa) i składanie morfizmów (składanie funkcji, składanie dowodów, mnożenie macierzy). Za pomocą właśności morfizmów możemy określić wiele pojęć bez odwoływania się do "wnętrza" obiektów, np. możemy zdefiniować produkt , który w zależności od kategorii może być iloczynem kartezjańskim zbiorów, iloczynem grup, koniunkcją formuł itd.

Rys historyczny

Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy , jednak pierwszą ogólną definicję funkcji podał dopiero w 1718 r. matematyk szwajcarski Jan Bernoulli .

Pełną definicję funkcji (jako przyporządkowania) pierwszy sformułował matematyk niemiecki Peter Gustav Lejeune Dirichlet w 1837 r. Dzisiaj pojęcie funkcji jest jednym z najważniejszych pojęć matematyki.

Przypisy

↑ Przy często używanych funkcjach nawias jest pomijany: $sin x$ lub $ln x$ . W niektórych wypadkach symbol funkcji pisze się po argumencie, np. $n!$ (czyt. "n silnia ").
↑ W niektórych źródłach, wyraz "przeciwdziedzina" uważa się za synonim słowa "zbiór wartości", w innych zaś nie. Dlatego w matematyce wyższej nie używa się pojęcia "zbioru wartości", a "obrazu" (objaśnione poniżej).
↑ Taki algorytm musi być deterministyczny , tj. wyjścia dla takich samych wejść powinny być równe.

Zobacz też

Inne hasła zawierające informacje o "Funkcja":

Biskup są uważani za kontynuatorów misji apostołów . Na tym polega ich główna teologiczna Funkcja. Aby biskup był następcą apostołów musi zostać wyświęcony w sposób ważny, ...

Diakon biskupowi w udzielaniu sakramentu chrztu .Do X wieku istniała w Kościele katolickim również Funkcja diakonisy. Kobiety nie były jednak wyświęcane, powierzano im tylko pewne funkcje ...

Mioglobina dziedzinie chemii w roku 1962 , dzieląc ją z Maxem Perutzem .Spis treści1 Budowa2 Funkcja3 Zobacz też4 Linki zewnętrzne5 Przypisy BudowaMioglobina jest silnie upakowaną, w przybliżeniu ...

Dzielnica miasta ...

Mer (urzędnik) Francji – wykonuje zadania administracji publicznej oraz stoi na czele organów tejże administracji.Funkcja mera występuje też w innych krajach, m.in. w Rosji , Rumunii , Kanadzie ...

Ciałko nerkowe Sawicki: Histologia. Wyd. V. Warszawa: Wydawnictwo Lekarskie PZWL, 2008. . ↑ Struktura i Funkcja kłębuszków. W: Bolesław Rutkowski, Marian Klinger: Kłębuszkowe choroby nerek. Wyd. I. ...

Stanisław Małachowski Czteroletniego , referendarz wielki koronny 1780 - 1792 , starosta wąwolnicki .Spis treści1 Biografia2 Kariera polityczna2.1 Poglądy2.2 Funkcja premiera2.2.1 Powołanie2.2.2 Działalność3 Rodzina4 Zobacz też5 Przypisy BiografiaSyn Jana , kanclerza wielkiego ...

Układ protonefrydialny tzw. komórkami płomykowymi. Główne kanały wydalnicze otwierają się na zewnątrz otworami wydalniczymi. FunkcjaGłówną funkcją tego układu jest nie tyle usuwanie ubocznych produktów metabolizmu (których ...

Majuskuła własnej i wyrazu rozpoczynającego nowe zdanie .Majuskuła jest antonimem minuskuły .Spis treści1 Nazwa2 Semantyczna Funkcja wielkiej litery3 Przypisy4 Zobacz też NazwaStosowane są trzy określenia:terminu majuskuła używają ...

Przeszczepianie narządów współczesnego kanibalizmu . Tak jak ludożerstwo ma na celu przeżycie kosztem konsumpcji zwłok (Funkcja gastronomiczna, nawet jeśli ma rytuały magiczne), tak transplantologia ma na celu ...

Inne lekcje zawierające informacje o "Funkcja":

Świat roślinny i zwierzęcy w Polsce (plansza 15) e height=380 width=770 > Funkcje lasów 1. Przyrodnicza Funkcja lasów: – zwarta, wielowarstwowa roślinność ogranicza erozję gleb, chroniąc je przed nadmiernym ...

Komunikacja językowa (plansza 12) e height=380 width=770 > Funkcja poetycka Cechy funkcji poetyckiej: 1. stosowanie porównań, przenośni itp. 2. obecność środków stylistycznych 3. brak ...

02. System gospodarki rynkowej (plansza 14) ...

Publikacje nauczycieli

Logowanie i rejestracja

Załóż nowe konto za darmo » Odzyskaj stracone hasło

Czy wiesz, że...

Skóra hipopotama ma grubość 5 cm.

skóra hipopotam

Rodzaje szkół

AP Edukacja - licea
i szkoły policealne

Publikacje nauczycieli

Kontakt

Formularz dodania
szkoły do katalogu

Ogólnopolski Katalog Szkolnictwa
www.szkolnictwo.pl
ul. Kaszubska 10/16
75-036 Koszalin

Wszelkie pytania, uwagi i zmiany w katalogu prosimy kierować do:

	zmiany@szkolnictwo.pl

Wszelkie pytania, uwagi dotyczące Platformy Edukacyjnej prosimy kierować do:

	platforma@szkolnictwo.pl

Konta bankowe dla klientów katalogu szkolnictwo.pl:

Pełny ekran >>>

Wiadomości

Reklama

zamów reklamę >>>

Dodaj szkołę

Formularz dodania
szkoły do katalogu

Nauka

	Język angielski
Słówka - testy Słówka - lekcje Testy po angielsku Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Testy na prawo jazdy
Kategoria B - lekcje Kategoria B - testy do lekcji Testy do egzaminu

	Język niemiecki
Słówka - testy Słówka - lekcje Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Matematyka
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Konkurs "Kangur Matematyczny"

	Geografia
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Państwa świata

	Chemia
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Język hiszpański
Słówka

	Prawo
Egzamin konkursowy dla kandydatów na aplikantów

	Język polski
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Liceum - testy do lektur Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Ortografia - testy

	Historia
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji

	Biologia
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Fizyka i astronomia
Zadania do matury Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Informatyka
Informatyka - zadania do matury Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Wiedza o społeczeństwie
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Podstawy przedsiębiorczości
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Język angielski
	Filozofia
	Testy na prawo jazdy
	Język niemiecki
	Matematyka
	Geografia
	Chemia
	Język hiszpański
	Prawo
	Język polski
	Historia
	Biologia
	Fizyka i astronomia
	Informatyka
	Wiedza o społeczeństwie
	Podstawy przedsiębiorczości
	Egzaminy Zawodowe
	Materiały szkół