W teorii mnogości , hipoteza Suslina to zdanie postulujące nieistnienie pewnego obiektu (tak zwanego drzewa Suslina). Zdanie to jest niezależne od standardowych aksjomatów teorii mnogości , tzn. zdania tego nie można udowodnić na gruncie tych aksjomatów ani nie można go obalić. Jest ono oznaczane przez SH (od angielskiego zwrotu the Suslin Hypothesis). Czasami SH, a czasami ¬SH jest użyteczną pomocą w dowodzie i w pewnych przypadkach zdania te są traktowane przez matematyków jako możliwe dodatkowe aksjomaty (oczywiście, zakłada się tylko jeden z nich).

Motywacja i historia

Prostą rzeczywistą można następująco scharakteryzować w terminach porządku .

Każdy porządek liniowy w którym

(a) nie ma ani elementu największego ani elementu najmniejszego oraz

(b) topologia porządkowa (generowana przez przedziały otwarte) jest spójna i ośrodkowa

jest izomorficzny z .

W 1920 , rosyjski matematyk Michał Jakowlewicz Suslin sformułował problem, czy w powyższej charakteryzacji można zastąpić ośrodkowość topologii porządkowej przez słabsze założenie warunku przeliczalnych antyłańcuchów (tzw ccc)^[1]. Przypomnijmy że przestrzeń topologiczna spełnia ccc jeśli każda rodzina parami rozłącznych otwartych podzbiorów tej przestrzeni jest przeliczalna . Dla topologii wyznaczonej przez porządek liniowy, ccc jest równoważne stwierdzeniu, że każda rodzina rozłącznych przedziałów otwartych jest przeliczalna.

Jedną z równoważnych postaci SH jest stwierdzenie, że pytanie Suslina ma pozytywną odpowiedź i każdy porządek liniowy w którym

(a) nie ma ani elementu największego ani elementu najmniejszego, oraz

(b)' topologia porządkowa jest spójna i spełnia ccc

jest izomorficzny z .

Pytanie Suslina było bardzo naturalne, więc wielu matematyków poświęciło temu zagadnieniu swoje prace.

W latach 30. XX wieku , jugosłowiański matematyk Kurepa wykazał, że negacja SH jest równoważna istnieniu pewnych dziwnych obiektów związanych z pierwszą nieprzeliczalną liczbą porządkową ω₁^[2]. Współcześnie hipotezę Suslina formułujemy właśnie w języku drzew zaproponowanym przez Kurepę.

Na początku lat 60. XX wieku czeski matematyk Tomás Jech^[3] i niezależnie amerykański matematyk Tennenbaum^[4] wykazali, że hipotezy Suslina nie można udowodnić.

Około roku 1965 amerykańscy matematycy Solovay i Tennenbaum rozwinęli metodę forsingu , wprowadzając forsing iterowany i wykazali niezależność hipotezy Suslina od aksjomatów ZFC^[5].

Jensen udowodnił, że aksjomat konstruowalności implikuje ¬SH (a nawet diament Jensena do tego wystarczy)^[6].

Definicje

• Prosta Suslina to porządek liniowy w którym

(i) nie ma ani elementu największego ani elementu najmniejszego, oraz

(ii) topologia porządkowa jest spójna i spełnia ccc, ale

(iii) nie jest ośrodkowa.

• Drzewo to porządek częściowy taki że dla każdego zbiór jest dobrze uporządkowany (przez relację ).
• Drzewo Suslina to drzewo w którym ale wszystkie łańcuchy oraz wszystkie antyłańcuchy są przeliczalne.
• Hipoteza Souslina (SH) to zdanie stwierdzające, że

nie istnieje żadne drzewo Suslina

Własności

• Prosta Suslina istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje drzewo Suslina.
• Jeśli jest prostą Suslina (rozważaną z topologią porządkową), to produkt nie spełnia ccc.
• Jeśli jest prawdziwy, to istnieje drzewo Suslina czyli ¬SH jest prawdziwe.
• Jeśli MA +¬ CH jest spełnione, to nie ma drzew Suslina i SH jest prawdziwe.

Bibliografia

1. ↑ Michał Jakowlewicz Suslin. Probléme 3. Fundamenta Mathematicae 1(1920), 223.
2. ↑ Kurepa, Djuro. L'hypothèse de ramification. C. R. Acad. Sci., Paris 202, 185-187 (1936).
3. ↑ Jech, Tomás. Non-provability of Souslin's hypothesis. Comment. Math. Univ. Carolinae 8 (1967) 291-305.
4. ↑ Tennenbaum, S. Souslin's problem. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 59 1968 60--63
5. ↑ Solovay, R. M.; Tennenbaum, S. Iterated Cohen extensions and Souslin's problem. Ann. of Math. (2) 94 (1971), 201-245.
6. ↑ Devlin, Keith J.; Johnsbråten, Håvard. The Souslin problem. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 405. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1974. viii+132 pp.

Zobacz też

• diament Jensena ,
• hipoteza Kurepy ,
• CH ,
• V=L ,
• MA .