Mechanika klasyczna
W
klasycznej mechanice
teoretycznej hamiltonian (funkcja
Hamiltona
) jest funkcją współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisującą układ fizyczny.

gdzie qj oznaczają współrzędne uogólnione, pj pędy uogólnione, N liczbę
stopni swobody
, a t czas.
Sformułowanie lagranżowskie
Funkcję Hamiltona można wyprowadzić z
lagranżjanu
.

gdzie qj oznacza współrzędne uogólnione,
prędkości uogólnione, t czas. Dla każdej prędkości uogólnionej wprowadzamy odpowiadający jej pęd kanonicznie sprzężony zdefiniowany jako

W szczególnym przypadku
współrzędnych kartezjańskich
pędy uogólnione odpowiadają zwykłym
pędom
. We
współrzędnych walcowych
pęd odpowiadający
prędkości kątowej
odpowiada
momentowi pędu
. W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie posiadać prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.
W tym ujęciu Hamiltonian definiowany jest jako transformacja Legendre'a
Lagranżjanu
, tzn.

Przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych przez pędy uogólnione (Hamiltonian jest jawną funkcją pędów uogólnionych). Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.
Mechanika kwantowa
W
mechanice kwantowej
hamiltonian jest
operatorem energii
. Używa się go do opisywania wszystkich
układów kwantowych
, a więc występuje on w najrozmaitszych formach. W najprostszym przypadku kwantowej cząstki nierelatywistycznej poruszającej się w potencjale skalarnym jest równy

Wartości własne hamiltonianu

mają sens energii układu w stanie
.
Jeżeli założymy że hamiltonian
nie zależy od czasu, to rozwiązaniem równania:
ponieważ
.
są:

gdzie
jest operatorem ewolucji w czasie. A
jest wektorem stanu w obrazie Schrödingera.
Zobacz też