Startuj z nami!

www.szkolnictwo.pl

praca, nauka, rozrywka....

mapa polskich szkół
Nauka Nauka
Uczelnie Uczelnie
Mój profil / Znajomi Mój profil/Znajomi
Poczta Poczta/Dokumenty
Przewodnik Przewodnik
Nauka Konkurs
uczelnie

zamów reklamę
zobacz szczegóły
uczelnie

Iloczyn nieskończony

Iloczyn nieskończony

Iloczyn nieskończony - pojęcie analogiczne szeregowi ; iloczyn nieskończenie wielu liczb ( rzeczywistych lub zespolonych ).

Spis treści

Ustalenia wstępne

Jeżeli p_1, p_2, \ldots, p_n, \ldots jest ciągiem liczb, to liczby P_1=p_1, P_2=p_1p_2, \ldots, P_n=p_1p_2\cdot\ldots\cdot p_n nazywamy iloczynami częściowymi tego ciągu. Symbol

\prod_{n=1}^\infty p_n=p_1p_2\cdot\ldots\cdot p_n\ldots

nazywamy iloczynem nieskończonym ciągu pn, natomiast granicę (oznaczaną również tym samym symbolem) ciągu iloczynów częściowych

\lim_{n\to\infty}P_n=\prod_{n=1}^\infty p_n

(skończoną bądź nie) nazywamy wartością tego iloczynu.

Jeżeli iloczyn nieskończony ma granicę skończoną i różną od zera, to nazywamy go zbieżnym - w przeciwnym wypadku rozbieżnym. Jak łatwo zauważyć, wystarczy by jeden z czynników iloczynu był zerowy, aby wartość iloczynu była zerem, tj. iloczyn nieskończony był rozbieżny.

Związek z szeregami

Podobnie jak w przypadku szeregów, odrzucenie skończonej liczby wyrazów w ciągu pn nie wpływa na zbieżność iloczynu nieskończonego tego ciągu (o ile wśród odrzucanych wyrazów nie ma liczby 0). Można podać także analogiczny warunek konieczny zbieżności: Jeżeli iloczyn nieskończony ciągu pn jest zbieżny, to

\lim_{n\to\infty}p_n=1.

Zbieżność szeregu a zbieżność iloczynu nieskończonego

Iloczyn nieskończony ciągu pn jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

\sum_{n=1}^{\infty} \ln p_n.

Jeżeli warunek ten jest spełniony i L jest sumą szeregu, to wartość iloczynu nieskończonego wynosi eL.

Można podać też inne kryteria zbieżności:

  • Jeżeli dla dostatecznie dużych n wyrazy ciągu liczbowego an są stałego znaku, to iloczyn nieskończony
\prod_{n=1}^\infty (1+a_n) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg \sum_{n=1}^\infty a_n.
  • Jeżeli zbieżne są szeregi: \sum_{n=1}^\infty a_n i \sum_{n=1}^\infty a^2_n, to zbieżny jest iloczyn \prod_{n=1}^\infty (1+a_n).

Rozwinięcia funkcji w iloczyny nieskończone

\sin z = z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{\pi^2 n^2}\right) - szczególny przypadek - iloczyn Wallisa
\cos z = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{4z^2}{\pi^2 (2n-1)^2}\right)
\sinh z = z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z^2}{\pi^2 n^2}\right)
\cosh z = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{4z^2}{\pi^2 (2n-1)^2}\right)
\zeta(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1 - p_n^{-z})} - Funkcja ζ Riemanna, pn oznacza ciąg liczb pierwszych
\frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots
\frac{\pi}{2} =  \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{ 4 \cdot n^2 }{ 4 \cdot n^2 - 1 } \right)

Źródła

  1. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz : Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2. Warszawa: PWN, 1966. 


Inne hasła zawierające informacje o "Iloczyn nieskończony":

Iloczyn Matematyka:iloczyn – wynik mnożenia , Iloczyn nieskończony – uogólnienie powyższego, iloczyn logiczny , iloczyn zbiorów , iloczyn kartezjański , iloczyny grup , iloczyn skalarny , iloczyn wektorowy , iloczyn mieszany ...

Rodzimy Kościół Polski ...

Nadciśnienie tętnicze ...

Nieskończoność ...

Dyspersja (optyka) ...

Odwzorowanie walcowe ...

Aksjomat Martina ...

Pojęcie forsingu ...

Algebra Boole'a ...

Aksjomat determinacji ...


Inne lekcje zawierające informacje o "Iloczyn nieskończony":

Potęgi (plansza 8) ...

Zaokrąglanie liczb (plansza 8) ...

Zaokrąglanie liczb (plansza 9) ...





Zachodniopomorskie Pomorskie Warmińsko-Mazurskie Podlaskie Mazowieckie Lubelskie Kujawsko-Pomorskie Wielkopolskie Lubuskie Łódzkie Świętokrzyskie Podkarpackie Małopolskie Śląskie Opolskie Dolnośląskie