Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy - działanie przyporządkowujące parze wektorów $\alpha, \beta \in \mathbb{R}^3$ wektor $γ$ taki, że

$\gamma \perp \alpha$ , $\gamma \perp \beta$ (w przypadku, gdy $α$ i $β$ są liniowo zależne , ich iloczyn wektorowy jest równy wektorowi zerowemu )
długość wektora $γ$ jest równa polu równoległoboku wyznaczonego przez $α$ i $β$
zwrot wektora $γ$ jest wyznaczony tak aby trójka wektorów $(α,β,γ)$ (będąca bazą przestrzeni $\mathbb{R}^3$ w przypadku, gdy $α$ i $β$ są liniowo niezależne) była dodatnio zorientowana - zob. reguła prawej dłoni .

Iloczyn wektorowy wektorów $α$ i $β$ oznaczany jest symbolem $\alpha\times \beta$ .

Spis treści

1 Sposób obliczania
- 1.1 Podwójny iloczyn wektorowy
  - 1.1.1 Dowód
2 Własności
- 2.1 Wektor normalny a prostopadłość
3 Uogólnienie - iloczyn wektorialny
- 3.1 Interpretacja geometryczna
4 Bibliografia
5 Zobacz też

Sposób obliczania

Mając definicję iloczynu mieszanego skonstruowaną za pomocą iloczynu wektorowego i skalarnego , można przedstawić iloczyn wektorowy jako macierz wersorów układu kartezjańskiego wraz ze współrzędnymi dwóch wektorów, dzięki któremu wyznaczamy iloczyn wektorowy. Zapiszmy iloczyn skalarny wektora $\vec{c}$ przez iloczyn wektorowy wektorów $\vec{a}$ i $\vec{b}$ w następujący sposób:

$\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\eta\begin{vmatrix}c_x&c_y&c_z\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\\end{vmatrix}$

(1)

Wektor $\vec{d}=\vec{a}\times\vec{b}$ jest prostopadły do wektorów $\vec{a}$ oraz do $\vec{b}$ i tym samym układ wektorów $(\vec{a}\times\vec{b},\vec{a},\vec{b})$ tworzy nową bazę o wymiarze trzy zanurzoną w starej bazie w układzie kartezjańskim o takim samym wymiarze.

W definicji iloczynu mieszanego (1) wprowadziliśmy parametr η=±1, ponieważ z definicji wspomnianego iloczynu mieszanego z na razie z niewyznaczonym parametrem wynika, że iloczyn wektorowy jest prostopadły do wektorów, z którego on jest wyznaczony. Istnieją dwa rodzaje tych wektorów, różniące się tylko zwrotami i dlatego w tej definicji występuje ten wspomniany parametr, by określić te dwa wektory. Parametr η wyznaczymy poniżej, a więc wybierzemy jeden z dwóch tych wektorów, tak by definicja iloczynu wektorowego była taka, by zbudowana na podstawie niej baza określająca nowy układ współrzędnych w oparciu o te trzy wspomniane wcześniej wektory (dwa wektory na podstawie, której jest zbudowany nasz iloczyn wektorowy i trzeci wektor, który jest wynikiem rozważanego tego iloczynu), była taka by skrętność tego nowego układu współrzędnych była zgodna ze starym układem współrzędnym, w którym współrzędne tych trzech wektorów są wyznaczone.

Niech baza starego układu odniesienia posiadała bazę kanoniczną . Z definicji iloczynu skalarnego możemy zatem wyznaczyć współrzędne wyniku iloczynu wektorowego, którego przedstawienie matematyczne na razie bliżej nie znany, ale chcemy wyznaczyć w prostokątnym układzie współrzędnym względem określonego wektora bazy kanonicznej. To możemy tak zrobić wykorzystując definicję iloczynu mieszanego jako iloczyn pewnego wektora (w tym przypadku są wektory bazy starego układu współrzędnych) i iloczynu wektorowego dwóch dowolnych wektorów.

Zatem wyznaczmy jego współrzędne iloczynu wektorowego względem pierwszego wektora bazy kanonicznej w starym układzie współrzędnych $\vec{c}=\vec{i}=(1,0,0)$ . wtedy mamy:

$d_x=\vec{i}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\eta\begin{vmatrix}a_y&a_z\\b_y&b_z\end{vmatrix}$

(2)

Następnie wyznaczmy jego współrzędne iloczynu wektorowego względem drugiego wektora bazy kanonicznej w starym układzie współrzędnych $\vec{c}=\vec{j}=(0,1,0)$ . wtedy mamy:

$d_y=\vec{j}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=-\eta\begin{vmatrix}a_x&a_z\\b_x&b_z\end{vmatrix}$

(3)

wyznaczmy jego współrzędne iloczynu wektorowego względem trzeciego wektora bazy kanonicznej układu współrzędnych $\vec{c}=\vec{k}=(0,0,1)$ . wtedy mamy:

$d_z=\vec{k}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\eta\begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{vmatrix}$

(4)

Jeśli weźmiemy $\vec{d}=(d_x,d_y,d_z)\;$ , to układ trzech wektorów $(\vec{d},\vec{a},\vec{b})\;$ jako nowy układ współrzędnych jest zgodny ze starym układem współrzędnym kartezjańskim, gdy wyznacznik macierzy przejścia ze starego układu współrzędnych no nowego spełnia warunek $det(T) > 0$ . Zbudujmy macierz przejścia.

$T=\begin{bmatrix}d_x&d_y&d_z\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{bmatrix}$

(5)

Wykorzystując definicję wektora $\vec{d}$ , które współrzędne są podane w punktach (2), (3) i (4), uzyskujemy wyznacznik macierzy T (5), którego zapis matematyczny wygląda następująco:

$0<\det T=\begin{vmatrix}\eta\begin{vmatrix}a_y&a_z\\b_y&b_z\end{vmatrix}&-\eta\begin{vmatrix}a_x&a_z\\b_x&b_z\end{vmatrix}&\eta\begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{vmatrix}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}=\eta\left( \begin{vmatrix}a_y&a_z\\b_y&b_z\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}a_x&a_z\\b_x&b_z\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{vmatrix}^2 \right)$

(6)

Aby w naszej nowej bazie skrętność była zgodna ze skrętnością starego układu trójwymiarowego kartezjańskiego, musi zachodzić $η = 1$ wedle obliczeń (6).

Udowodniliśmy więc, że iloczyn wektorowy dwóch dowolnych wektorów jest dany tak, by jego definicja na podstawie wcześniejszych rozważa i η = 1 (obliczenia (6)) była napisana następująco;

$\vec{a}\times\vec{b}=\vec{i}d_x+\vec{j}d_y+\vec{k}d_z=\vec{i}\begin{vmatrix}a_y&a_z\\b_y&b_z\end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix}a_x&a_z\\b_x&b_z\end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}$

(7)

Podwójny iloczyn wektorowy

Poniżej udowodniony zostanie wzór nazywany wzorem na podwójny iloczyn wektorowy: $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})$ spełniony dla dowolnych $\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in R^3$ , czyli wektorów $\vec a,\vec b,\vec c$ będących elementami przestrzeni trójwymiarowej.

Dowód

Dowód przeprowadzony będzie w oparciu o definicję iloczynu wektorowego i iloczynu skalarnego za pomocą współrzędnych wektorów wchodzących w skład podwójnego iloczynu wektorowego. Skorzystamy tu z nieformalnej definicji iloczynu wektorowego w przestrzeni trójwymiarowej jako macierzy, w której występują ortonormalne wersory .

$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{a}\times\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_x&a_y&a_z\\\begin{vmatrix}b_y&b_z\\c_y&c_z\\\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}b_z&b_x\\c_z&c_x\\\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}b_x&b_y\\c_x&c_y\end{vmatrix}\end{vmatrix}=$

$=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_yc_z-b_zc_y&b_zc_x-b_xc_z&b_xc_y-b_yc_x\end{vmatrix}=$

$=\vec{i}[a_y(b_xc_y-b_yc_x)-a_z(b_zc_x-b_xc_z)]+\vec{j}[a_z(b_yc_z-b_zc_y)-a_x(b_xc_y-b_yc_x)]+$

$+\vec{k} [a_x(b_zc_x-b_xc_z)-a_y(b_yc_z-b_zc_y)]=\vec{i}(b_x a_yc_y-c_x a_yb_y-c_x a_zb_z+b_x a_zc_z)+$

$+\vec{j}(b_y a_zc_z-c_ya_zb_z-c_ya_xb_x+b_ya_xc_x)+\vec{k}(b_za_xc_x-c_za_xb_x-c_za_yb_y+b_za_yc_y)=$

$=\vec{i} b_x(a_xc_x+a_yc_y+a_zc_z)-\vec{i}c_x(a_xc_x+a_yb_y+a_zb_z)+\vec{j} c_y(a_zb_z+a_yb_y+a_xb_x)+$

$-\vec{j}b_y(a_zc_z+a_xc_x+b_ya_xc_x)+\vec{k}b_z(a_xc_x+c_ya_y+a_yc_y)-\vec{k}c_z(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)=$

$=(\vec{i}b_x+\vec{j}b_y+\vec{k}b_z)(a_xc_x+a_yc_y+a_zc_z)-(\vec{i}c_x+\vec{j}c_y+\vec{k}c_z)(a_xc_x+a_yb_y+a_zb_z)=\vec{b}\left(\vec{a}\cdot\vec{c}\right)-\vec{c}\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)$

Co kończy dowód.

Własności

Iloczyn dwóch takich samych wektorów jest wektorem zerowym, ponieważ są one liniowo zależne w trywialny sposób.
Iloczyn wektorowy jest antyprzemienny (w szczególności nie jest przemienny ). Dokładniej: iloczyn wektorowy zmienia zwrot po zamianie kolejności dowolnych dwóch argumentów: $\alpha\times\beta =-(\beta \times\alpha)$ .
Iloczyn wektorowy nie jest łączny, ale $\alpha\times(\beta \times\gamma) + \beta \times(\gamma\times\alpha) + \gamma\times(\alpha\times\beta ) = 0$ (w przestrzeni 3-wymiarowej).
Iloczyn wektorowy danych wektorów nie zmieni się, jeśli do danego pierwszego wektora dodamy dowolną wielokrotność drugiego danego wektora lub odwrotnie,np:

$(\alpha+\lambda\beta )\times\beta =\alpha\times\beta +\lambda\beta \times\beta =\alpha\times\beta$

Iloczyn wektorowy jest pseudowektorem .

Jeżeli weźmiemy dwa wektory, tzn. $\alpha=[a_x,\,a_y,\,a_z]$ i $\beta =[b_x,\,b_y,\,b_z]$ , to ich iloczyn wektorowy można wyliczyć przy pomocy następującego wzoru mnemotechnicznego (nie jest on formalnie poprawny ponieważ elementami macierzy nie mogą być jednocześnie liczby i wektory):

$\alpha \times \beta =\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}=[a_yb_z-a_zb_y, \,-a_xb_z+a_zb_x, \,a_xb_y-a_yb_x]$

długość wektora wynikowego jest równa iloczynowi wartości obu wektorów wyjściowych pomnożonego przez sinus kąta między nimi zawartego:

otrzymany wektor (o ile jest niezerowy) jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez mnożone wektory,
zwrot ustalamy przy pomocy reguły śruby prawoskrętnej lub reguły prawej dłoni ,
ściślej rzecz biorąc, iloczyn wektorowy jest pseudowektorem , ponieważ jego współrzędne transformują się przy obrotach układu współrzędnych jak współrzędne wektora, ale nie zmieniają znaku przy odbiciu osi,
i-tą składową iloczynu wektorowego $\alpha \times \beta$ określa $\epsilon_{ijk}a_jb_k\;$ , gdzie $a_j\;$ , $b_k\;$ są składowymi wektorów $\vec a$ i $β$ , a $\epsilon_{ijk}\;$ jest symbolem Leviego-Civity .

Wektor normalny a prostopadłość

Dane są 3 wektory:

$\mathbf {\overrightarrow{v_1}} = \begin{bmatrix} x_1, & y_1, & z_1 \end{bmatrix}$

$\mathbf {\overrightarrow{v_2}} = \begin{bmatrix} x_2, & y_2, & z_2 \end{bmatrix}$

$\mathbf {\overrightarrow{v}} = \begin{bmatrix} x, & y, & z \end{bmatrix}$

Zakładamy, że wektory $\overrightarrow{v_1}$ i $\overrightarrow{v_2}$ są prostopadłe do wektora $\overrightarrow{v}$ . Wynika więc stąd, że pomiędzy wektorem $\overrightarrow{v_1}$ a $\overrightarrow{v}$ oraz pomiędzy $\overrightarrow{v_2}$ a $\overrightarrow{v}$ nawiązuje się relacja prostopadłości :

$\begin{cases}\begin{matrix}xx_1+yy_1+zz_1 = 0\\xx_2+yy_2+zz_2 = 0\end{matrix}\end{cases}$

Ponieważ jest to układ dwóch równań z trzema niewiadomymi , potraktujemy niewiadomą $z\,$ jako pewną daną, zaś wyrazy $zz_1\,$ i $zz_2\,$ - jako wyrazy wolne , po czym przeniesiemy je na drugą stronę powyższych równań, zmieniając przy tym oczywiście ich znaki na przeciwne:

$\begin{cases}\begin{matrix}xx_1+yy_1 = -zz_1\\xx_2+yy_2 = -zz_2\end{matrix}\end{cases}$

Następnie, korzystając ze wzorów Cramera , wyznaczamy wartości niewiadomych $x\,$ i $y\,$ , w zależności od wartości niewiadomej $z\,$ :

$W=\left|\begin{array}{cc}x_1 & y_1\\x_2 & y_2\end{array}\right|$

$W_x=\left|\begin{array}{cc}-zz_1 & y_1\\-zz_2 & y_2\end{array}\right|$

$W_y=\left|\begin{array}{cc}x_1 & -zz_1\\x_2 & -zz_2\end{array}\right|$

Powołując się na jedną z własności wyznacznika, z $W_x\,$ i $W_y\,$ możemy wyciągnąć przed nawias wyrażenie $-z\,$ :

$W_x=-z\left|\begin{array}{cc}z_1 & y_1\\z_2 & y_2\end{array}\right|$

$W_y=-z\left|\begin{array}{cc}x_1 & z_1\\x_2 & z_2\end{array}\right|$

Powołując się na kolejną własność wyznacznika, w $W_x\,$ możemy zamienić miejscami kolumny, zmieniając przy tym znak na przeciwny:

$W_x=z\left|\begin{array}{cc}y_1 & z_1\\y_2 & z_2\end{array}\right|$

Na końcu otrzymujemy:

$\begin{cases}\begin{matrix}x=\frac {W_x} W=z \cdot \frac {\left|\begin{array}{cc}y_1 & z_1\\y_2 & z_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}x_1 & y_1\\x_2 & y_2\end{array}\right|}\\\\y=\frac {W_y} W=-z \cdot \frac {\left|\begin{array}{cc}x_1 & z_1\\x_2 & z_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}x_1 & y_1\\x_2 & y_2\end{array}\right|}\end{matrix}\end{cases}$

Zauważmy, że wyrażenia $x\,$ i $y\,$ mają wspólny mianownik równy $\left|\begin{array}{cc}x_1 & y_1\\x_2 & y_2\end{array}\right|$ . Załóżmy więc, że:

$z=\left|\begin{array}{cc}x_1 & y_1\\x_2 & y_2\end{array}\right|$

Wówczas wyrażenia $x\,$ , $y\,$ i $z\,$ przedstawiają się następująco:

$\begin{cases}\begin{matrix}x=\left|\begin{array}{cc}y_1 & z_1\\y_2 & z_2\end{array}\right|\\\\y=-\left|\begin{array}{cc}x_1 & z_1\\x_2 & z_2\end{array}\right|\\\\z=\left|\begin{array}{cc}x_1 & y_1\\x_2 & y_2\end{array}\right|\end{matrix}\end{cases}$

Ostatecznie, otrzymaliśmy składowe wektora normalnego $\overrightarrow{v}$ , będącego iloczynem wektorowym wektorów $\overrightarrow{v_1}$ i $\overrightarrow{v_2}$ , tak więc prawdziwy jest wzór:

$\overrightarrow{v_1}\times \overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v}$

Uogólnienie - iloczyn wektorialny

Niech $V$ będzie $n\,$ -wymiarową przestrzenią euklidesową o zadanej orientacji . Iloczynem wektorowym wektorów $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}\in V$ nazywamy wektor $\beta\in V$ taki, że

Jeśli $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}$ są liniowo zależne , to $\beta\,$ jest wektorem zerowym.
Jeśli $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}$ są liniowo niezależne , to

$\beta\in \mbox{lin}(\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1})^{\perp}$ (ortogonalne dopełnienie podprzestrzeni, czyli podprzestrzeń prostopadła do każdego z wektorów $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}$ ),
$\|\beta\|=\sqrt{|G(\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1})|}$ (pierwiastek z wyznacznika Grama ),
Baza $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}, \beta$ jest zorientowana dodatnio .

Działanie to oznaczamy $\alpha_1\times\ldots\times \alpha_{n-1}$ lub $\times (\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1})$

Interpretacja geometryczna

W przestrzeni $n\,$ -wymiarowej, długość wektora otrzymanego jako iloczyn wektorowy danych $n - 1$ wektorów jest równa objętości równoległościanu rozpiętego na tych wektorach (otrzymujemy wektor zerowy, gdy dane wektory są liniowo zależne). Ponadto wektor wynikowy jest prostopadły do wszystkich danych wektorów i jest zorientowany tak, że baza oparta na danych wektorach i wektorze wynikowym jest dodatnio zorientowana.

W przestrzeni trójwymiarowej, długość iloczynu wektorowego jest równa iloczynowi długości pierwszego wektora i długości rzutu drugiego wektora na kierunek prostopadły do pierwszego wektora, czyli polu równoległoboku na nich rozpiętego. Wektor zerowy otrzymamy, gdy jeden z danych wektorów jest zerowy lub gdy dane wektory są równoległe.

Bibliografia

I.N. Bronsztejn: K.A.Siemiendiawjew Matematyka Poradnik encyklopedyczny - PWN Warszawa 1996

Zobacz też

Inne hasła zawierające informacje o "Iloczyn wektorowy":

Iloczyn Matematyka:iloczyn – wynik mnożenia , iloczyn nieskończony – uogólnienie powyższego, iloczyn logiczny , iloczyn zbiorów , iloczyn kartezjański , iloczyny grup , iloczyn skalarny , Iloczyn wektorowy , iloczyn mieszany wektorów.Chemia: iloczyn jonowy iloczyn rozpuszczalności Zobacz też produkt ...

Nadciśnienie tętnicze ...

Dyspersja (optyka) ...

Algebra Boole'a ...

Aksjomat wyboru ...

Energia elektryczna ...

Parzystość liczb ...

Liczba pierwsza ...

Zasada nieoznaczoności ...

Werner Heisenberg ...

Inne lekcje zawierające informacje o "Iloczyn wektorowy":

Potęgi (plansza 8) ...

Zaokrąglanie liczb (plansza 8) ...

Zaokrąglanie liczb (plansza 9) ...

Publikacje nauczycieli

Logowanie i rejestracja

Załóż nowe konto za darmo » Odzyskaj stracone hasło

Czy wiesz, że...

Mastif Angielski jest najcięższym psem świata. Przeciętny dorosły osobnik tej rasy waży zazwyczaj około 80 kg, lecz wiele psów osiąga masę 100 kg.

Mastif Angielski pies

Rodzaje szkół

AP Edukacja - licea
i szkoły policealne

Publikacje nauczycieli

Kontakt

Formularz dodania
szkoły do katalogu

Ogólnopolski Katalog Szkolnictwa
www.szkolnictwo.pl
ul. Kaszubska 10/16
75-036 Koszalin

Wszelkie pytania, uwagi i zmiany w katalogu prosimy kierować do:

	zmiany@szkolnictwo.pl

Wszelkie pytania, uwagi dotyczące Platformy Edukacyjnej prosimy kierować do:

	platforma@szkolnictwo.pl

Konta bankowe dla klientów katalogu szkolnictwo.pl:

Pełny ekran >>>

Wiadomości

Reklama

zamów reklamę >>>

Dodaj szkołę

Formularz dodania
szkoły do katalogu

Nauka

	Język angielski
Słówka - testy Słówka - lekcje Testy po angielsku Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Testy na prawo jazdy
Kategoria B - lekcje Kategoria B - testy do lekcji Testy do egzaminu

	Język niemiecki
Słówka - testy Słówka - lekcje Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Matematyka
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Konkurs "Kangur Matematyczny"

	Geografia
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Państwa świata

	Chemia
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Język hiszpański
Słówka

	Prawo
Egzamin konkursowy dla kandydatów na aplikantów

	Język polski
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Liceum - testy do lektur Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Ortografia - testy

	Historia
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji

	Biologia
Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Fizyka i astronomia
Zadania do matury Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Informatyka
Informatyka - zadania do matury Gimnazjum - lekcje Gimnazjum - testy do lekcji Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Wiedza o społeczeństwie
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Podstawy przedsiębiorczości
Liceum - lekcje Liceum - testy do lekcji

	Język angielski
	Filozofia
	Testy na prawo jazdy
	Język niemiecki
	Matematyka
	Geografia
	Chemia
	Język hiszpański
	Prawo
	Język polski
	Historia
	Biologia
	Fizyka i astronomia
	Informatyka
	Wiedza o społeczeństwie
	Podstawy przedsiębiorczości
	Egzaminy Zawodowe
	Materiały szkół