Otoczenie
punktu
– w
topologii
oznacza dowolny zbiór, który zawiera
zbiór otwarty
zawierający dany punkt.
Dokładniej, jeśli , gdzie X jest
przestrzenią topologiczną
, to zbiór V jest otoczeniem punktu x, gdy istnieje zbiór otwarty taki, że
Zauważmy, że tak rozumiane otoczenie nie musi być zbiorem otwartym. Istotne jest tylko, by zawierało pewien zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym, itd.
Uwaga: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy pod pojęciem otoczenia punktu rozumieją wyłącznie zbiór otwarty zawierający dany punkt. W stosowanej tu terminologii otoczenie takie nazywałoby się otoczeniem otwartym.
Jeżeli S jest
podzbiorem
X, pod pojęciem otoczenia zbioru S rozumiemy zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera S. W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru.
Rodzina
wszystkich otoczeń danego punktu nazywana jest
bazą otoczeń
(punktu).
Przestrzeń metryczna
W
przestrzeni metrycznej
X z metryką d otoczenie punktu można równoważnie określić następująco: V jest otoczeniem punktu p jeśli istnieje
kula
otwarta o środku w punkcie p i promieniu r
zawarta w zbiorze V.
Otoczeniem jednostajnym zbioru S w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór V o tej własności, że istnieje liczba r > 0 taka, że dla każdego kula otwarta
zawarta jest w zbiorze V. Innymi słowy, jest to zbiór będący sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru S.
System otoczeń a topologia
Jeżeli dla każdego punktu x zbioru X dana jest pewna rodzina B(x) podzbiorów zbioru X spełniająca poniższe warunki:
- dla dowolnego
- dla dowolnego istnieje takie, że
to fakt ten można wykorzystać do określenia
topologii
w zbiorze X. Wystarczy zdefiniować zbiór otwarty jako taki, który wraz z każdym swoim punktem x zawiera również pewien zbiór z rodziny B(x).
Otoczenie a sąsiedztwo
W klasycznej analizie matematycznej korzysta się czasem z pojęcia sąsiedztwa punktu, które oznacza otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego. Zatem, jeżeli V jest otoczeniem punktu x, to zbiór jest sąsiedztwem punktu x.
Przykłady
W zbiorze
liczb rzeczywistych
z topologią euklidesową otoczeniem otwartym punktu x jest dowolny
przedział otwarty
(a,b) taki, że a < x < b. Sąsiedztwem punktu x jest wówczas zbiór
Otoczeniem otwartym punktu na
płaszczyźnie
euklidesowej jest
koło
bez brzegu o środku w tym punkcie, zaś sąsiedztwem tego punktu jest koło bez środka (czyli bez danego punktu).