PFA (z ang. proper forcing axiom) - jeden z aksjomatów forsingowych używanych w teorii mnogości , topologii i pokrewnych dziedzinach matematyki . Jest to zdanie postulujące szczególną własność pewnych porządków częściowych .

Definicje

Pojęcia wstępne

Niech będzie pojęciem forsingu .

• Powiemy, że zbiór jest filtrem w jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) ,

(ii) jeśli , oraz , to również ,

(iii) jeśli , to można znaleźć taki że oraz .

• Zbiór jest gęstym podzbiorem jeśli .
• Niech χ będzie regularną liczbą kardynalną a będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż χ. Przypuśćmy, że N jest przeliczalnym elementarnym podmodelem takim, że . Powiemy, że warunek jest warunkiem -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha który należy do modelu N mamy

dla każdego , jeśli r,q są niesprzeczne, to

(Przypomnijmy, że warunki r,q są niesprzeczne jeśli istnieje warunek silniejszy niż oba te warunki.)

• Pojęcie forsingu jest proper , jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej χ istnieje taki, że:

jeśli N jest przeliczalnym elementarnym podmodelem , oraz ,

to istnieje warunek który jest -generyczny.

PFA i BPFA

PFA oznacza następujące zdanie:

jeśli pojęcie forsingu jest proper, jest rodziną gęstych podzbiorów oraz ,

to istnieje filtr który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z (tzn ).

BPFA jest następującym zdaniem:

jeśli pojęcie forsingu jest proper, jest rodziną maksymalnych antyłańcuchów w zupełnej algebrze Boole'a wyznaczonej przez to pojęcie forsingu oraz zarówno jak i każdy antyłańcuch w rodzinie jest mocy co najwyżej ,

to istnieje filtr który ma niepusty przekrój z każdym antyłańcuchem z (tzn ).

Nazwa BPFA jest skrótem angielskiego zwrotu Bounded Proper Forcing Axiom.

Historia i niesprzeczność

• Idea forsingów proper i związanego z nimi aksjomatu forsingowego była stworzona przez izraelskiego matematyka Saharona Shelaha w drugiej połowie lat 70. XX wieku . W 1978 w czasie wykładów w Berkeley przedstawił on po raz pierwszy ten koncept, w druku ukazał się on w 1980 ^[1].
• W 1982 , Shelah opublikował monografię ^[2] przedstawiającą pierwsze sytematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych.
• W 1995 , Martin Goldstern i Saharon Shelah wprowadzają BPFA^[3] który zyskał sporą popularność w ostatnich latach (ze względu na słabsze założenia potrzebne aby wykazać jego niesprzeczność).

Podstawą do wykazania niesprzeczności PFA (czy też BPFA) jest twierdzenie Shelaha mówiące, że iteracja z przeliczalnym nośnikiem forsingów proper jest forsingiem proper (a więc nie kolapsuje ω₁)^[4][5][6] Niestety, w iteracjach tego typu liczby kardynalne powyżej mogą być kolapsowane, jeśli więc chcemy przeiterować wszystkie możliwe forsingi proper to potrzebujemy dodatkowego narzędzia aby złapać swój własny ogon. Narzędziem tym jest zwykle diament Lavera związany z liczbą super-zwartą.

Twierdzenie [Shelah]: Jeśli teoria "ZFC+istnieje liczba super-zwarta " jest niesprzeczna, to również teoria "ZFC+PFA" jest niesprzeczna.

Aksjomat BPFA wymaga znacznie słabszych założeń:

Twierdzenie [Goldstern-Shelah]: Jeśli teoria "ZFC+istnieje liczba Mahlo " jest niesprzeczna, to również teoria "ZFC+BPFA" jest niesprzeczna.

(W tym ostatnim twierdzeniu trochę mniej niż istnienie liczby Mahlo jest wymagane; co więcej Goldstern i Shelah podali dokładną siłę niesprzeczności BPFA.)

Przykłady forsingów proper

• Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
• Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu ) są proper.
• Pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach są proper przy naturalnych warunkach^[7].

Przykłady konsekwencji

Załóżmy PFA. Wówczas:

• ,
• MA ,
• SCH ,
• nie istnieją drzewa Kurepy ,
• suma (s0)-zbiorów Marczewskiego jest (s₀)-zbiorem.

Aby przedstawić kolejną konsekwencję PFA musimy wprowadzić następującą definicję. Powiemy, że podzbiór prostej rzeczywistej jest -gęsty w jeśli dla każdego niepustego przedziału otwartego mamy, że .

• Zakładając PFA, każde dwa -gęste podzbiory prostej są porządkowo izomorficzne ^[8].

Bibliografia

1. ↑ Shelah, Saharon: Independence results. "J. Symbolic Logic" 45 (1980), s. 563-573.
2. ↑ Shelah, Saharon: Proper forcing. "Lecture Notes in Mathematics", 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. .
3. ↑ Goldstern, Martin; Shelah, Saharon: The bounded proper forcing axiom. "J. Symbolic Logic" 60 (1995), s. 58-73.
4. ↑ Shelah, Saharon: Proper and improper forcing. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1998. .
5. ↑ Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). "Israel Math. Conf. Proc.", 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305-360.
6. ↑ Abraham, Uri: Proper forcing. w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronie autora .
7. ↑ Rosłanowski, Andrzej; Shelah, Saharon: Norms on possibilities. I. Forcing with trees and creatures. "Mem. Amer. Math. Soc." 141 (1999), no. 671, .
8. ↑ Baumgartner, James: Applications of the proper forcing axiom, w: Handbook of set-theoretic topology, s. 913-959. North-Holland, Amsterdam, 1984.

Zobacz też

• ,
• hipoteza continuum ,
• aksjomat Martina ,
• forsing ,
• pojęcie forsingu ,
• proper forsing
• duże liczby kardynalne ,