Proper forsing
Proper forsingProper forsing (własność proper pojęć forsingu) – jedna z podstawowych własności
pojęć forsingu
wprowadzona przez
izraelskiego
matematyka
Saharona Shelaha
w drugiej połowie
lat 70. XX wieku
. Nazwa jest spolszczeniem
angielskiego
wyrażenia proper forcing. W
1978
w czasie wykładów w
Berkeley
, Shelah przedstawił po raz pierwszy tę własność i jej zastosowania, w druku te idee ukazały się w
1980
[1]. W
1982
, Shelah opublikował
monografię
[2] przedstawiającą pierwsze systematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych.[3][4][5]. DefinicjeW literaturze tematu funkcjonują trzy równoważne definicje pojęcia forsingów proper. Definicja teoriogrowa była opublikowana po raz pierwszy w rozprawie doktorskiej Charlsa Greya, pozostałe dwie są oryginalnymi definicjami Shelaha. Niech będzie pojęciem forsingu. Definicja kombinatoryczna- (i) Powiemy, że
zbiór
jest nieograniczony jeśli dla każdego możemy znaleźć taki że . - (ii) Powiemy, że zbiór
jest domknięty jeśli dla każdego
ciągu
(dla ) elementów zbioru X mamy że . - (iii) Zbiór
jest stacjonarny jeśli ma on niepusty
przekrój
z każdym domkniętym i nieograniczonym zbiorem (tzn ).
- Pojęcie forsingu
jest proper jeśli zachowuje ono stacjonarność podzbiorów dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej λ. Innymi słowy, jest proper jeśli dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej λ i każdego stacjonarnego zbioru mamy, że "S jest stacjonarny".
Definicja teoriogrowa- Dla
rozważmy następującą
grę nieskończoną
długości ω. W czasie partii tej gry, dwóch graczy (Pierwszy i Druga) konstruuje ciąg w sposób następujący. Na kroku n,
- najpierw Pierwszy wybiera
-nazwę (term boole'owski) taką że " jest
liczbą porządkową
". - Potem Druga odpowiada wybierając liczbę porządkową
.
- Po skończonej partii orzekamy że Druga wygrała wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje warunek
taki, że .
- Pojęcie forsingu
jest proper jeśli dla każdego warunku , Druga ma strategię zwycięską w grze .
Definicja oparta na warunkach generycznych- Powiemy, że zbiór
jest
filtrem
w jeśli następujące warunki są spełnione:
- (i)
, - (ii) jeśli
, oraz , to również , - (iii) jeśli
, to można znaleźć taki że oraz .
- Zbiór
jest
gęstym
podzbiorem jeśli . - Niech χ będzie
regularną
liczbą kardynalną a
będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż χ. Przypuśćmy, że N jest przeliczalnym elementarnym podmodelem takim, że . Powiemy, że warunek jest warunkiem -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego
antyłańcucha
który należy do modelu N mamy dla każdego , jeśli r,q są niesprzeczne, to  - (Przypomnijmy, że warunki r,q są niesprzeczne jeśli istnieje warunek
silniejszy niż oba te warunki.)
- Pojęcie forsingu
jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej χ istnieje taki, że:
- jeśli N jest przeliczalnym elementarnym podmodelem
, oraz , - to istnieje warunek
który jest -generyczny.
Przykłady- Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
- Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o
pojęciach forsingu
) są proper.
Przykładowe własności- Przypuśćmy, że pojęcie forsingu
jest proper. Wówczas
- (a) Jeśli
oraz jest -nazwą taką, że , to istnieją warunek oraz ciąg zbiorów przeliczalnych takie, że . - (b)
" jest liczbą kardynalną ".
- Przypuśćmy, że
jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi (CS iteration) taką, że dla każdego mamy
" jest proper ".
- Wówczas
jest proper.
- Załóżmy
CH
. Przypuśćmy, że
jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego mamy
" jest proper mocy co najwyżej ".
- Wówczas
spełnia -cc (tzn każdy antyłańcuch w jest mocy co najwyżej ) oraz " " dla każdego .
Twierdzenia zachowawczePozycja własności proper w teorii forsingów iterowanych jest wynikiem szeregu twierdzeń zachowaczych związanych z tą własnością. Postać ogólnaOgólny schemat twierdzeń iteracyjnych ma następującą postać. Mamy dwie własności pojęć forsingu, powiedzmy W1 i W2 i własność W1 implikuje własność W2. Twierdzenia iteracyjne związane z tymi własnościami mogą być jednej z następujących postaci: - (a) Jeśli
jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego mamy " jest proper i ma własność W1 ",
- to
jest proper i ma własność W2. - (b) Jeśli γ jest
liczbą graniczną
oraz
jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego mamy " jest proper" oraz ma własność W1,
- to
(jest proper i) ma własność W2.
Jeśli własności W1,W2 są identyczne, to mówimy wówczas że mamy do czynienia z twierdzeniem zachowawczym. Przykłady- Powiemy, że pojęcie forsingu
jest ωω-ograniczające, jeśli
.- Twierdzenie: Jeśli
jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego mamy " jest proper i ωω-ograniczające ",
- to
jest proper i jest ωω-ograniczające.
- Powiemy, że pojęcie forsingu
jest słabo ωω-ograniczające, jeśli
jest nieskończony .- Twierdzenie: Jeśli γ jest liczbą graniczną oraz
jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego mamy " jest proper " oraz jest słabo ωω-ograniczające,
- to
jest proper i jest słabo ωω-ograniczające.
Dalsza lekturaRozdziały 6 i 18 w monografii Shelaha[3] są najbardziej wyczerpującym przeglądem twierdzeń zachowawczych, ale bardzo jasno przedstawione szczególne przypadki tych twierdzeń można znaleźć w artykule Goldsterna[4] i książce
Tomka Bartoszyńskiego
i Haima Judaha[6]. Warto przy tej okazji zauważyć, że w artykule Goldsterna zakłada się (ze względów technicznych), że rozważane pojęcia forsingu dodają nowe liczby rzeczywiste, a prezentacja w książce Bartoszyńskiego i Judaha zawiera pewną lukę w tym aspekcie. Wyjaśnienie problemu i przedstawienie jego rozwiązania można znaleźć w artykule Jakoba Kellnera i Martina Goldsterna[7]. Aksjomat AJames E. Baumgartner[8] wprowadził własność pojęć forsingu, która implikuje, że rozważany forsing jest proper, a której sprawdzenie w wielu przypadkach jest prostsze (czy też bardziej intuicyjne). Własność ta znana jest pod nazwą aksjomatu A lub aksjomatu Baumgartnera. Aksjomat BaumgartneraPowiemy, że pojęcie forsingu spełnia aksjomat A, jeśli istnieje ciąg
porządków częściowych
na taki, że - (i) jeśli
, to , - (ii) jeśli
, to , - (iii) jeśli nieskończony ciąg warunków
ma tę własność, że (dla wszystkich n < ω), to można znaleźć warunek taki, że , - (iv) dla każdego warunku
, liczby n < ω oraz maksymalnego antyłańcucha można wybrać warunek taki, że i zbiór są niesprzeczne jest przeliczalny.
Konsekwencje i przykłady- Jeśli pojęcie forsingu
spełnia aksjomat A, to jest ono proper. - Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu spełniają aksjomat A. (W pierwszym przypadku kładziemy
, a w drugim jest równością.) - Forsing Silvera spełnia aksjomat A. Przypomnijmy, że pojęcie forsingu Silvera
jest zdefiniowane następująco. Elementami porządku (tzn. warunkami) są
funkcje
takie, że oraz jest nieskończone; porządek jest odwrotną relacją wydłużania funkcji, tzn. wtedy i tylko wtedy, gdy ( oraz) .
- Dla
liczby naturalnej
określmy
relację
dwuczłonową na w sposób następujący. Kładziemy oraz dla n > 0: wtedy i tylko wtedy, gdy ( oraz) i jeśli i to .
- Łatwo można sprawdzić, że
są porządkami częściowymi na zaświadczającymi, że spełnia aksjomat A.
- Ogólniej, pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach spełniają aksjomat A przy naturalnych warunkach[9].
Bibliografia- ↑ Shelah, Saharon: Independence results. "J. Symbolic Logic" 45 (1980), s. 563-573.
- ↑ Shelah, Saharon: Proper forcing. "Lecture Notes in Mathematics", 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. .
- ↑ 3,0 3,1 Shelah, Saharon: Proper and improper forcing. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1998. .
- ↑ 4,0 4,1 Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). "Israel Math. Conf. Proc.", 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305-360.
- ↑ Abraham, Uri: Proper forcing. w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie
dvi
na
stronie autora
.
- ↑ Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim. Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995.
- ↑ Goldstern, Martin; Kellner, Jakob: New reals: can live with them, can live without them. "Math. Log. Q." 52 (2006), s. 115-124.
- ↑ Baumgartner, James E.: Iterated forcing, w: Surveys in set theory, pod red. A. R. D. Mathiasa. London Math. Soc. Lecture Notes Ser., 87, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1983, s. 1-59.
- ↑ Rosłanowski, Andrzej; Shelah, Saharon: Norms on possibilities. I. Forcing with trees and creatures. "Mem. Amer. Math. Soc." 141 (1999), no. 671, .
Zobacz też
Inne hasła zawierające informacje o "Proper forsing":
PFA (aksjomat)
of set-theoretic topology, s. 913-959. North-Holland, Amsterdam, 1984. Zobacz też,
hipoteza continuum
,
aksjomat Martina
,
forsing
,
pojęcie forsingu
,
Proper forsing
duże liczby kardynalne
, ...
Aksjomat Martina
in Mathematics", 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. Zobacz też,
teoria mnogości
,
aksjomaty Zermelo-Fraenkela
,
lemat Booth'a
forsing
,
Proper forsing
,
PFA
,
CH
. ...
Tomek Bartoszyński
...
Hipoteza Kurepy
...
Pojęcie forsingu
Conf. Proc.", 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305-360. Zobacz też,
aksjomaty ZFC
,
forsing
,
Proper forsing
MA
,
PFA
. ...
Praporządek
...
Filtr (matematyka)
...
Indukcja pozaskończona
...
Algebra Boole'a
...
W. Hugh Woodin
...
Inne lekcje zawierające informacje o "Proper forsing":
Hasło nie występuje w innych lekcjach!
|