Ilustracja przedstawiająca trójkąt i proste zawierąjace jego boki

Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji ) figura wypukła i domknięta , zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny ( otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).

Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami trójkąta, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkąta. Każdy trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki.

Często dla wygody jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami.

W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°, zaś długości boków muszą spełniać pewne zależności (patrz dalej).

Rodzaje

A, B, C – wierzchołki
a, b, c – boki
α, β, γ – kąty

Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów.

Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:

• trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości;
• trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości;
• trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; w tym przypadku też wszystkie jego kąty są tej samej miary.

różnoboczny	równoramienny	równoboczny
różnoboczny	równoramienny	równoboczny

Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się:

• trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre;
• trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej;
• trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.

ostrokątny	prostokątny	rozwartokątny
ostrokątny	prostokątny	rozwartokątny

Trójkąty można dzielić również ze względu na inne relacje równoważności , np. podobieństwo , przystawanie .

Ważne elementy

Wysokość trójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek i prostopadła do prostej zawierającej przeciwległy bok. Słowem "wysokość" często też nazywany jest odcinek wysokości, łączący wierzchołek z punktem na prostej zawierającej przeciwległy bok; długość tego odcinka też nazywa się wysokością. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają się w punkcie zwanym ortocentrum tego trójkąta.

Środkowa trójkąta to prosta zawierająca wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem ciężkości (środkiem masy, barycentrum) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku.

Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka trójkąta.

Punkt Nagela - punkt w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi.

Punkt Gergonne'a - punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt.

Punkty Brocarda - w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty.

Punkt Fermata - punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.

wysokości i ortocentrum	środkowe i barycentrum	symetralne i okrąg opisany	dwusieczne i okrąg wpisany

Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie

W każdym trójkącie punkty przecięcia: środkowych boków , symetralnych boków , wysokości (odpowiednio: środek ciężkości, środek okręgu opisanego, ortocentrum) leżą na jednej prostej, zwanej prostą Eulera . Ponadto, .

Pole powierzchni

Przyjmując dla trójkąta ABC następujące oznaczenia:

— długości boków;

— wysokości opuszczone na boki odpowiednio ;

— kąty leżące naprzeciw boków odpowiednio ;

— pole powierzchni;

— promień okręgu opisanego ;

— promień okręgu wpisanego ;

— połowa obwodu; ;

dostaniemy następujące wzory na pole powierzchni :

Poglądowy dowód wzoru na pole powierzchni trójkąta wynoszącego połowę iloczynu podstawy i opadającej na nią wysokości.

( wzór Herona );

(postać wyznacznikowa ).

Z powyższych wzorów można wyprowadzić również następujące:

W geometrii analitycznej przyjmując dla wierzchołków trójkąta

dostaniemy także następujące wzory:

czyli

Środek ciężkości

Trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne kartezjańskie :

ma środek ciężkości (barycentrum) w punkcie:

Nierówność trójkąta

W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą , i zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta:

i analogicznie

Trójkąt o bokach, których długości wynoszą , i istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci:

Geometrie nieeuklidesowe

Na płaszczyźnie euklidesowej suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa kątowi półpełnemu , czyli .

W geometriach innych niż euklidesowa suma kątów wewnętrznych nie musi wynosić 180°. Na przykład osoba, która pójdzie z bieguna północnego 10 tys. km na południe, 10 tys. km na zachód a potem 10 tys. km na północ znajdzie się z powrotem na biegunie, choć dwukrotnie skręciła o 90°, więc trójkąt przez nią zakreślony ma sumę kątów większą niż 180° a dokładnie 270°. Dzieje się tak, gdyż na sferze (dobre przybliżenie powierzchni geoidy ) obowiązuje geometria eliptyczna , a nie euklidesowa. Dowód własności, że w przestrzeni euklidesowej suma kątów w trójkącie wynosi 180°, opiera się na piątym aksjomacie Euklidesa , który wyróżnia geometrię euklidesową spośród innych geometrii .

Zobacz też

• twierdzenie Pitagorasa
• twierdzenie Menelaosa
• twierdzenie Cevy , trygonometryczne
• twierdzenia: sinusów , cosinusów , tangensów
• trójkąt sferyczny
• wzór Herona
• okrąg dziewięciu punktów
• sympleks