Schemat zjawiska Comptona
Zjawisko Comptona, rozpraszanie komptonowskie - zjawisko rozpraszania
promieniowania X
(rentgenowskiego) i
promieniowania gamma
, czyli
promieniowania elektromagnetycznego
o dużej
częstotliwości
, na
swobodnych
lub słabo związanych
elektronach
, w wyniku którego następuje zwiększenie długości fali promieniowania. Za słabo związany uważamy przy tym elektron, którego
energia wiązania
w
atomie
, cząsteczce lub sieci krystalicznej jest znacznie niższa, niż energia padającego
fotonu
. Zjawisko przebiega w tym przypadku praktycznie tak samo, jak dla elektronu swobodnego.
Zwiększenie
długości fali
rozproszonego fotonu, zwane przesunięciem Comptona, zależy od kąta rozproszenia
fotonu
zgodnie ze wzorem:
gdzie:
Zatem zmiana długości fali nie zależy od jej początkowej długości. Oznacza to, że względna zmiana zależy od długości fali padającego promieniowania. Maksymalna zmiana długości fali występuje dla kąta (rozproszenie wsteczne). I tak na przykład dla światła widzialnego, od długości rzędu względna zmiana długości fali w tym wypadku wynosi około 0,001%, efekt jest więc bardzo słaby. Jednak dla promieniowania o długości fali , co odpowiada energii
fotonów
około 1
MeV
, oznacza to niemal dziesięciokrotny wzrost długości fali.
Wzór na przesunięcie długości fali można przekształcić w wyrażenie na energię fotonu po rozproszeniu:
- ,
gdzie jest energią fotonu padającego (przed rozproszeniem).
Historia
Arthur H. Compton
zajmował się badaniem rozpraszania
promieni
Roentgena
w materii od roku 1917. Usiłował wyjaśnić obserwowane niezgodności pomiędzy klasyczną teorią rozpraszania fali elektromagnetycznej na ładunkach elektrycznych (rozpraszanie Thomsona) a wynikami pomiarów[2]. Obserwowane niezgodności dotyczyły natężenia rozproszonego promieniowania i zależności tego natężenia od kąta rozproszenia.
Po kilku nieudanych próbach wyjaśnienia zjawiska na gruncie klasycznej teorii fal elektromagnetycznych, Compton zaczął podejrzewać, że może ono polegać na rozpraszaniu na pojedynczych elektronach. Zestawił więc aparaturę, która pozwalała mu mierzyć nie tylko natężenie, ale i długość fali rozproszonego promieniowania, wykorzystując
prawo Bragga
. Pomiary pokazały, że część promieniowania rozproszonego jest przesunięta w stronę większych długości fali, przy czym przesunięcie to rośnie ze wzrostem kąta rozproszenia. Wynik ten Compton usiłował wyjaśnić początkowo
efektem Dopplera
. Jednak wkrótce stwierdził, że wyjaśnienie to nie jest zgodne z jego pomiarami i znalazł inne, oparte o założenie, że rozpraszanie jest spowodowane zderzeniami pojedynczych
kwantów
promieniowania z elektronami. Wynik ten Compton ogłosił w roku
1922
a opublikował w roku
1923
[3]. W roku
1927
otrzymał ze tę pracę
Nagrodę Nobla
.
Znaczenie historyczne
Doświadczenie Comptona było pierwszym i do dziś pozostaje jednym z elegantszych doświadczeń demonstrujących korpuskularną naturę promieniowania elektromagnetycznego. Większość fizyków około roku 1920 (w tym i sam Compton) uważała zaproponowaną przez
Plancka
i
Einsteina
hipotezę kwantów światła za rodzaj modelu matematycznego, odmawiając kwantom fizycznego istnienia[2]. Dla wyników Comptona nie dawało się jednak znaleźć wyjaśnienia na gruncie teorii falowej, zaś proste i eleganckie wyjaśnienie opierało się na założeniu, że kwanty światła rozpraszają się w zderzeniach z pojedynczymi elektronami, że tak przed jak i po zderzeniu mają jednoznacznie określony kierunek ruchu i że niosą nie tylko energię, ale i
pęd
[3] — czyli że zachowują się jak klasyczne cząstki. Jednocześnie jednak w tym samym doświadczeniu pomiar energii (długości fali) rozproszonego promieniowania opierał się o wykorzystanie jego falowej natury, a konkretnie zjawiska
dyfrakcji
.
Niedługo po opublikowaniu wyników Comptona
dualizm korpuskularno-falowy
stał się powszechnie uznaną koncepcją, a kwanty światła, nazwane wkrótce fotonami, przestały być uważane za twór czysto matematyczny, lecz zostały uznane za realne byty fizyczne.
Wykorzystanie
Zjawisko Comptona odgrywa istotną rolę w oddziaływaniu promieniowania gamma i rentgenowskiego z materią. W zakresie energii fotonów od kilkudziesięciu keV do kilku MeV rozpraszanie Comptona jest najbardziej prawdopodobnym rodzajem oddziaływania, jakiemu może ulec promieniowanie podczas przechodzenia przez materię[1]. Ma więc decydujące znaczenie dla zdolności pochłaniania promieniowania w tym zakresie energii, przez co pośrednio gra zasadniczą rolę w
radiobiologii
, m.in.
radioterapii
.
Przeciwnicy teorii
wielkiego wybuchu
proponowali wykorzystanie tego zjawiska do wytłumaczenia obserwowanego
przesunięcia ku czerwieni
[4].
Wyprowadzenie wzoru na energię fotonu rozproszonego
Opieramy się na założeniu, że rozpraszanie Comptona jest
zderzeniem sprężystym
pomiędzy dwiema cząstkami: fotonem o długości fali λ i spoczywającym elektronem. Do opisu zderzenia możemy więc stosować zasady zachowania:
pędu
i
energii
. Pęd i energia fotonu wynoszą odpowiednio: p = h / λ, E = pc. Energia i pęd elektronu związane są ze sobą zależnością relatywistyczną:
- .
Z zasady zachowania pędu wynika, że wektory pędu cząstek przed zderzeniem i po zderzeniu muszą leżeć w jednej płaszczyźnie. Możemy więc opisywać zderzenie w dwuwymiarowym
układzie współrzędnych
na tej płaszczyźnie. Przyjmujemy, że przed zderzeniem foton porusza się wzdłuż osi x.
Zasada zachowania energii – w stanie początkowym mamy foton o długości fali λ i spoczywający elektron, w stanie końcowym foton o długości fali λ' i elektron o pędzie pe:
- .
Zasada zachowania pędu – składowa y:
- .
Zasada zachowania pędu – składowa x:
- .
Kwadrat pędu elektronu po zderzeniu:
- ,
i można tu wstawić składowe wyliczone z zasady zachowania pędu:
- .
Podstawiając to do równania zasady zachowania energii i dzieląc przez c można otrzymać następujące równanie (teraz pozostały już tylko przekształcenia
algebraiczne
):
Podnosząc obustronnie do kwadratu
i po skróceniu:
- .
Mnożąc przez i przerzucając jeden człon na prawą stronę otrzymujemy wyrażenie Comptona:
- .
Na podstawie powyższego wzoru, oraz zależności
dochodzimy do wzoru na energię rozproszonego fotonu:
- .
Przekrój czynny
Pierwsze próby wyznaczenia natężenia rozproszonego promieniowania i jego rozkładu kątowego podjął sam Compton, w swej oryginalnej pracy[3]. Przyjął w tym celu, że wychodzący foton jest emitowany przez poruszający się już po rozproszeniu elektron. Jego wyniki zgadzały się jakościowo z doświadczeniem, przewidując mniejsze natężenie rozproszonego promieniowania, niż wynikające z klasycznej teorii Thomsona i asymetryczny rozkład kątowy. Compton nie posiadał jednak narzędzia niezbędnego do poprawnego rozwiązania tego problemu – relatywistycznej kwantowej teorii elektronu, stworzonej kilka lat później przez
Diraca
.
Wzór Kleina-Nishiny
Rozpraszanie Comptona, kanał s
Rozpraszanie Comptona, kanał u
Wyrażenie na
różniczkowy przekrój czynny
dla takiego procesu zostało opublikowane w roku
1929
przez
Oskara Kleina
i Yoshio Nishinę[5], a jego wyprowadzenie było jednym z pierwszych zastosowań nowej podówczas teorii elektronu Diraca[6]. Mówiąc we współczesnym języku
elektrodynamiki kwantowej
, Klein i Nishina obliczyli prawdopodobieństwo zajścia procesu w najniższym rzędzie
rachunku zaburzeń
, jako
superpozycję
procesów zobrazowanych przez przedstawione obok
diagramy Feynmana
. Znalezione przez nich wyrażenie nosi nazwę wzoru Kleina-Nishiny:
gdzie i to, zgodnie z wcześniejszymi oznaczeniami, energia fotonu przed i po rozproszeniu, to kąt rozproszenia, zaś jest stałą zwaną
klasycznym promieniem elektronu
:
- [1].
W rzeczywistości Klein i Nishina wyprowadzili wzory na rozpraszanie
spolaryzowanych
fotonów na elektronach, powyższe wyrażenie jest wynikiem uśrednienia ich wyników po początkowej polaryzacji fotonu i sumowania po polaryzacjach końcowych.
W granicy niskich energii fotonu padającego wzór Kleina-Nishiny daje wynik identyczny, jak klasyczne rozpraszanie Thomsona.
Całkowity przekrój czynny
Całkowity przekrój czynny na rozpraszanie Comptona można znaleźć drogą
całkowania
wzoru Kleina-Nishiny po pełnym
kącie bryłowym
– pamiętając o tym, że występująca we wzorze energia fotonu rozproszonego zależy od kąta rozproszenia. Wynikiem całkowania jest:
gdzie jest stosunkiem energii padającego fotonu do energii spoczynkowej elektronu.
Dla bardzo wysokich energii fotonu dominujący jest drugi składnik w nawiasie klamrowym i przekrój czynny zachowuje się jak
- ,
czyli maleje do zera z rosnącą energią. Z kolei dla bardzo niskich energii fotonu przekrój czynny zbiega do stałej
- [1].
Stała ta zwana jest thomsonowskim przekrojem czynnym, ponieważ występuje ona w klasycznie wyprowadzonym wzorze na rozpraszanie fali elektromagnetycznej na swobodnym elektronie (rozpraszanie Thomsona).
Zależność absorpcji promieniowania gamma od energii dla aluminium
Wzory powyższe wyprowadzone zostały przy założeniu swobodnego elektronu. W rzeczywistych substancjach mamy jednak do czynienia z elektronami związanymi w atomach. Doświadczenia pokazują jednak, że rzeczywiste przekroje czynne dla fotonów o średnich i wyższych energiach dobrze zgadzają się z obliczonymi z powyższych wzorów. Istotne odchylenia pojawiają się dopiero, gdy energia fotonu staje się porównywalna z
energią wiązania
elektronów w atomach substancji. Rzeczywisty przekrój czynny jest wówczas niższy niż wynikający z wzoru Kleina-Nishiny. Znaczna część oddziaływań fotonów w tym zakresie energii kończy się bowiem ich pochłonięciem i wybiciem elektronu z atomu (
efekt fotoelektryczny
), bądź koherentnym rozproszeniem fotonu na całym atomie (
rozpraszanie Rayleigha
). Na przykład dla
węgla
maksimum przekroju czynnego na rozpraszanie Comptona przypada dla fotonów o energii około 35 keV, a dla
ołowiu
około 90 keV[7].
Odwrotne rozpraszanie Comptona
Wszystkie powyższe wzory wyprowadzone zostały przy założeniu, że elektron początkowo spoczywa[8]. W takiej sytuacji energia fotonu rozproszonego jest zawsze niższa od (a w granicy rozpraszania „do przodu” równa) energii fotonu padającego.
Zjawisko zachodzi jednak oczywiście również dla szybko poruszających się elektronów. Jeżeli przy tym energia elektronu jest odpowiednio wysoka, to może się zdarzyć, że energia fotonu rozproszonego będzie wyższa od energii fotonu padającego, czyli nastąpi przekaz części energii kinetycznej elektronu fotonowi. Ze względu na tę różnicę przyjęło się nazywać takie zjawisko odwrotnym rozpraszaniem Comptona. Należy jednak podkreślić, że jest to nadal to samo zjawisko, tylko obserwowane z innego
układu odniesienia
. Wzory na przekrój czynny i na energię fotonu rozproszonego najłatwiej uzyskać stosując
transformację Lorentza
z układu, w którym elektron spoczywa, do układu laboratorium.
Podwójne rozpraszanie Comptona
Podwójnym rozpraszaniem Comptona nazywa się zjawisko rozproszenia fotonu na elektronie, przy którym elektron emituje dodatkowy foton (w stanie końcowym mamy więc elektron i dwa fotony). Teoretycznie istnienie takiego procesu przepowiedzieli
Walter Heitler
i Lothar Nordheim w roku
1934
[9]. Doświadczalnie udało się go zaobserwować w roku
1952
[10].
W języku elektrodynamiki kwantowej proces taki stanowi poprawkę wyższego rzędu do normalnego, „pojedynczego” rozpraszania Comptona – opisujące go diagramy Feynmana zawierają po co najmniej trzy wierzchołki. Oznacza to, że prawdopodobieństwo jego zajścia powinno być mniejsze o czynnik rzędu elektromagnetycznej stałej sprzężenia od przekroju czynnego wyliczonego z wzoru Kleina-Nishiny.
Dokładniejsze obliczenia pokazują, że całkowity przekrój czynny na podwójne rozpraszanie Comptona jest, dla energii padającego fotonu 1 MeV, o około dwa
rzędy wielkości
niższy od przekroju czynnego na rozpraszanie pojedyncze. Ze wzrostem energii fotonu różnica ta maleje[11].
Zjawisko to powoduje pojawianie się wśród rozproszonych fotonów takich, których energia nie jest zgodna z wzorem Comptona. Należy o tym pamiętać przy precyzyjnych pomiarach wykorzystujących rozpraszanie komptonowskie.
Przypisy
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3
Particle Data Group
, W.-M. Yao et al., J. Phys. G 33, 1 (2006)
- ↑ 2,0 2,1
Andrzej Kajetan Wróblewski
: Historia Fizyki. Warszawa:
PWN
, 2007, ss. 463—466. .
- ↑ 3,0 3,1 3,2 A.H.Compton, A Quantum Theory of the Scattering of X-rays by Light Elements, Phys. Rev. 21, 483 (1923)
- ↑ J.Kierein, Implications of the Compton effect interpretation of the red shift, IEEE Trans. on Plasma Science 18, 61 (1990)
- ↑ O. Klein i Y. Nishina, Z. Physik 52, 853 (1929)
- ↑ The Klein-Nishina Formula. W: Gösta Ekspong: The Oskar Klein Memorial Lectures. World Scientific, 2001. .
- ↑
Baza danych o przekrojach czynnych w NIST
- ↑ jest to założenie niefizyczne (w mikroświecie cząstka o określonym położeniu i w spoczynku gwałci
zasadę nieoznaczoności Heisenberga
), ale w przypadkach, gdy pęd elektronu jest znacznie mniejszy od pędu fotonu powoduje niewielkie błędy w opisie zjawiska Comptona
- ↑ W.Heitler i L.Nordheim, Physica 1, 1059 (1934)
- ↑ P. Cavanagh, Phys. Rev. 87, 1131 (1952)
- ↑ M.Ram i P.Y.Wang, Phys. Rev. Lett. 26, 476 (1971), Phys. Rev. Lett. 26, 1210 (1971)