Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej
matematyki
, w
teorii mnogości
(teorii zbiorów) przyjmowane jako
pojęcie pierwotne
. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów, bez wyróżnionej kolejności, nazywanych elementami.
W zależności od kontekstu zbiór zbiorów może też być nazywany rodziną zbiorów, a zbiór wszystkich rozważanych w danej teorii obiektów przestrzenią lub uniwersum.
W klasycznej teorii mnogości pojęcie zbioru wprowadza się razem z relacją przynależności , która wskazuje czy dany element należy do zbioru, czy nie. Relacja ta nie jest
przechodnia
, co można uznać za zgodne z intuicją – oczy są elementami człowieka, ludzie są elementami społeczeństwa, ale oczy nie są uważane za elementy społeczeństwa.
Notacja
Zwyczajowo zbiory oznacza się wielkimi literami, a ich elementy – małymi. Tak więc zdania a jest elementem zbioru A lub element a należy do A zapisuje się krótko lub .
Korzysta się też z notacji wielokropkowej. Nie jest ona ścisła, zakłada ona pewną domyślność czytelnika, co bywa ryzykowne: łatwo domyślić się, że wzór może oznaczać wszystkie nieparzyste
liczby naturalne
od 1 do 55; jednak wskazanie zbioru opisanego wzorem jest już problematyczne (liczby nieparzyste czy
pierwsze
?).
Ścisłą notacją jest natomiast , co oznacza zbiór wszystkich elementów zbioru Ω, spełniających warunek logiczny f(a). Dawniej stosowano też notację {a:f(a)} jednak okazało się, że prowadzi ona do sprzeczności - nie istnieje na przykład zbiór wszystkich zbiorów {a:1} (zob.
Antynomia Russella
). Odkrycie to było motorem do uściślenia pojęcia zbioru przez
aksjomatyzację
i dało początek nowoczesnej teorii mnogości.
Zbiór, do którego nie należy żaden element, nazywa się zbiorem
pustym
i oznacza symbolami lub .
Zbiory, których
moc
(odpowiednik potocznego pojęcia liczby elementów) da się zapisać
liczbą naturalną
, nazywa się
zbiorami skończonymi
; zbiory, które nie są skończone nazywa się nieskończonymi. Moc zbioru X, oznaczana jest jednym z symboli | X | , lub card X.
Działania
Suma zbiorów
Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B:
- .
Przykład.
Jeżeli A = {1,2,5} i B = {1,3,4}, to . Pomimo tego, że 1 występuje w obydwu zbiorach, w sumie tych zbiorów występuje tylko jeden raz.
Sumę uogólnia się na działania wieloargumentowe, także na nieskończenie wieloargumentowe.
Iloczyn zbiorów
Iloczynem (przekrojem, częścią wspólną) zbioru A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B, formalnie zapisujemy ją tak: . Iloczyn zbiorów nazywany jest także częścią wspólną zbiorów lub przekrojem zbiorów.
Przykład.
Jeśli A = {1,2,5} i B = {1,3,4}, to . Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych zbiorów.
Iloczyn także uogólnia się na działania wieloargumentowe, w tym nieskończenie wieloargumentowe.
Różnica zbiorów
Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A, a które nie należą do zbioru B, możemy ją zapisać tak: . Różnica zbiorów A i B zapisywana jest też A − B.
Przykład
Jeśli A = {1,2,5} i B = {1,3,4}, to . Jedynym wspólnym elementem obydwu zbiorów jest liczba 1, więc otrzymany zostanie zbiór A pozbawiony elementu {1}.
Dopełnienie zbioru
Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni Ω nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni Ω, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczane jest A' lub Ac. Definicja formalna:
- .
Z definicji dopełniania wynika także, że jest to różnica przestrzeni Ω i zbioru A: . Zbiór Ω zwany jest też uniwersum.
Przykład.
Jeśli A = {1,2,3}, a przestrzenią Ω jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór .
Różnica symetryczna
Różnica symetryczna
to zbiór elementów należących do dokładnie jednego z dwóch zbiorów (lecz nie do obydwu naraz)
Iloczyn kartezjański
Iloczyn kartezjański
to zbiór wszystkich takich
par
, których pierwszy element należy do pierwszego zbioru, drugi – do drugiego.
Suma rozłączna
Suma rozłączna
– suma zbiorów, a której zachowano informację o zbiorze, z którego pochodzi element.
Zbiór potęgowy
Zbiór potęgowy
– zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru.
Własności działań na zbiorach
Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa:
- – I prawo De Morgana
- – II prawo De Morgana
- – przemienność dodawania zbiorów
- – przemienność mnożenia zbiorów
- – łączność dodawania zbiorów
- – łączność mnożenia zbiorów
- – rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia
- – rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania
Uogólnienia
W matematyce rozpatruje się uogólnienia pojęcia zbioru; można zaliczyć do nich:
-
klasy
,
-
multizbiory
, które mogą zawierać jeden element wiele razy;
-
n-tki
, multizbiory w których określona jest kolejność;
-
zbiory rozmyte
, do których elementy mogą należeć tylko „częściowo” (klasyczny zbiór nie dopuszcza niejednoznaczności: dany element należy do zbioru albo do niego nie należy). Pojęcie to okazało się bardzo użyteczne w
automatyce
. Formalnie zbiór rozmyty można zdefiniować go jako
funkcję
(a więc również zbiór, jednak o bardzo złożonej strukturze), która elementom jakiegoś klasycznego zbioru przyporządkowuje liczby rzeczywiste z przedziału [0,1].
-
zbiory przybliżone
, które umożliwiają odzwierciedlenie logikę trójstanowej. Zbiór przybliżony można rozumieć jako parę zwykłych zbiorów, której elementy oznaczają dolne i górne oszacowanie: dany element należy do obydwu, do żadnego, albo tylko do górnego zbioru. Ostatni przypadek można stosować do modelowania niepewności.
Zobacz też