Paul Joseph Cohen, (ur.
2 kwietnia
1934
w
Long Branch
, w stanie
New Jersey
, w
USA
; zm.
23 marca
2007
,
Stanford
,
Kalifornia
),
matematyk
amerykański, od
1964
prof.
Stanford University
.
Jego zasługą są przełomowe dla nauki i
filozofii
osiągnięcia w zakresie podstaw
matematyki
, m.in. udowodnił niezależność
aksjomatu wyboru
i
hipotezy continuum
od
aksjomatów Zermelo-Fraenkela
teorii mnogości
; w
1966
roku za to osiągnięcie otrzymał
medal Fieldsa
.
W roku
1953
ukończył Brooklyn College, w rok później miał już magisterium z matematyki na uniwersytecie w Chicago. Cztery lata później był doktorem matematyki tegoż uniwersytetu. Kolejny rok spędził w słynnym
Massachusetts Institute of Technology
, potem następne dwa w nie mniej słynnym
Institute for Advanced Study
w
Princeton
. Od
1961
roku wykładał w
Stanford University
, gdzie w
1964
roku uzyskał profesurę.
Cohen przeszedł na zawsze do historii nauki w związku z rozwiązaniem Problemu 1 z
23 Problemów Hilberta
, czyli właśnie rozstrzygnięciem słynnej
hipotezy continuum
. Problem ten był - obok
wielkiego twierdzenia Fermata
– najbardziej chyba znanym zagadnieniem matematycznym w historii.
Dzięki stworzonej przez siebie nowatorskiej
metodzie forsingu
Paul Cohen rozstrzygnął w
1964
roku tę sprawę – w dodatku, w sposób niesłychanie sensacyjny. Okazało się otóż, że hipoteza continuum jest niezależna od "zwykłych" aksjomatów matematyki: można ją przyjąć jako dodatkowy aksjomat lub przyjąć jej zaprzeczenie – i w obu wypadkach nie popadnie się w sprzeczność. Metoda forcingu obecnie jest jednym z silniejszych narzędzi w
teorii mnogości
i
logice
.
Oznacza to, iż możliwa jest matematyka z hipotezą continuum i całkiem inna – bez niej; sytuacja dość podobna, jak to było ponad stulecie wcześniej z
geometrią nieeuklidesową
.
O hipotezie continuum
"Autor [Cohen] sądzi, że domniemanie CH zostanie w przyszłości uznane za jawnie fałszywe. Główną przyczyną dla której przyjmuje się aksjomat nieskończoności jest chyba odczucie, że jest absurdem aby dodawanie jednego zbioru po drugim mogło wyczerpać cały wszechświat. Podobnie jest z wyższymi aksjomatami nieskończoności. Tak więc jest zbiorem przeliczalnych liczb porządkowych i jest to zaledwie szczególny i najprostszy sposób generowania wyższych liczb porządkowych. Zbiór [
continuum
] jest natomiast generowany za pomocą zupełnie nowej i o wiele mocniejszej zasady, mianowicie aksjomatu zbioru potęgowego. Jest nierozsądnym sądzić aby jakikolwiek opis wyższych liczb porządkowych próbujący je za pomocą idei pochodnych schematowi aksjomatów zastąpienia mógł osiągnąć . Tak więc jest większe niż , gdzie , itd. Ten pogląd postrzega jako niesłychanie bogaty zbiór, który otrzymujemy dzięki jednemu znaczącemu aksjomatowi, który nie może zostać nigdy osiągnięty jakimkolwiek sposobem konstrukcji kawałek po kawałku. Może następne generacje będą widziały to zagadnienie jaśniej i będą potrafiły wysłowić się bardziej elokwentnie."
- Cohen, P. Set Theory and the Continuum Hypothesis p. 151.
Zobacz też
Linki zewnętrzne