Część wspólna zbiorów (czasami przekrój zbiorów albo iloczyn mnogościowy zbiorów) - dla zbiorów A i B zbiór który zawiera te i tylko te elementy, która należą jednocześnia do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych, niepustych rodzin zbiorów.
Definicje
Część wspólna (przekrój, iloczyn mnogościowy, przecięcie) zbiorów A i B to
zbiór
, do którego należą te elementy zbioru A, które należą również do B. Część wspólna zbiorów A i B jest oznaczana przez
. Tak więc:
.
Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli
jest niepustą rodzinę zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór
.
Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów
, gdzie zbiór indeksów I jest niepusty, część wspólną definiuje się jako
![\bigcap_{i\in I} A_i = \{a : (\forall i \in I)(a\in A_i)\}.](http://upload.wikimedia.org/math/d/0/6/d067fe42400bfe2e332226472178b2a9.png)
Przykłady
dzieli
n}.
, ale ![[0,1]\cap [1,2]=\{1\}](http://upload.wikimedia.org/math/3/d/e/3de346c9083f45eaf18da3ea97fa5023.png)
![\bigcap\limits_{n\in {\mathbb N}} (1-\frac{1}{n+1},1+\frac{1}{n+1})=\{1\}](http://upload.wikimedia.org/math/9/a/f/9afb3a91f66caa94fdc70cee50b0fa31.png)
- Niech
będzie rodziną wszystkich otwartych
przedziałów
o końcach wymiernych zawierających odcinek
. Wówczas
.
Własności
Operacje skończone
Dla dowolnych zbiorów A,B,C zachodzą następujące równości:
,
,
(łączność),
(przemienność),
oraz
(rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i
sumy
, względem drugiego,
(
prawo De Morgana
).
Ponadto,
wtedy i tylko wtedy, gdy
.
Operacje nieskończone
Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech
,
oraz
będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów I,J,K są niepuste. Niech D będzie dowolnym zbiorem. Wówczas
Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę w pewnym sensie ilustrującą dlaczego zapis z rodzinami indeksowanymi jest czytelniejszy. Niech
będzie niepustą rodziną zbiorów. Wówczas
Przekrój a obrazy i przeciwobrazy
Dla dowolnej
funkcji
, dowolnej rodziny indeksowanej
podzbiorów
zbioru X oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej
podzbiorów zbioru Y, zachodzą następujące dwa stwierdzenia:
(inaczej mówiąc,
przeciwobraz
przekroju jest przekrojem przeciwobrazu);
(czyli
obraz
przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).
Część wspólna zbiorów w rodzinie wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru
Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego U (tzw. uniwersum) oraz
jest
rodziną wszystkich podzbiorów
zbioru U, to
![({\mathcal P}({\mathbf U}),\cup,\cap,\setminus,\emptyset,{\mathbf U})](http://upload.wikimedia.org/math/5/f/6/5f6524d154b4e430c969ebd1a7161d85.png)
jest
ciałem zbiorów
(ogólniej:
algebrą Boole'a
). Algebra Boole'a ta jest zupełna. Zbiór U jest
elementem neutralnym
operacji części wspólnej
.
Zapis
,
gdy
(tzn. gdy
jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu[1].
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki : wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 33. .