Zbiór ograniczony – termin w
matematyce
używany na określenie
zbiorów
w pewnym sensie małych. Dokładna definicja tego pojęcia zależy od kontekstu w którym jest ono wprowadzane.
Porządki częściowe
Niech
będzie
zbiorem częściowo uporządkowanym
. Przypuśćmy też, że
i
. Powiemy, że
- element s jest ograniczeniem górnym zbioru A jeśli
, - element s jest ograniczeniem dolnym zbioru A jeśli
[1].
Każdy element zbioru X jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego.
Jeśli istnieje ograniczenie górne dla zbioru A, to mówimy iż zbiór ten jest ograniczony z góry, a jeśli istnieje ograniczenie dolne, to powiemy że zbiór jest ograniczony z dołu.
Zbiory ograniczone to zbiory które mają obydwa ograniczenia, dolne i górne. Tak więc podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest on zawarty w pewnym
przedziale
.
W szczególności, podzbiór A zbioru
liczb rzeczywistych
nazwiemy ograniczonym z góry (z dołu), jeżeli istnieje liczba większa (mniejsza) od wszystkich liczb tego zbioru, a jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest zawarty w pewnym skończonym przedziale.
Przestrzenie metryczne
Ograniczony podzbiór płaszczyzny (u góry) oraz jej nieograniczony podzbiór (na dole)
Niech (X,d) będzie
przestrzenią metryczną
. Powiemy, że zbiór
jest ograniczony w X jeśli jest on zawarty w pewnej
kuli
.
Równoważnie, niepusty zbiór
jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy zbiór
jest ograniczony z góry (jako zbiór liczb rzeczywistych).
Przestrzenie liniowo-topologiczne
Niech X będzie
przestrzenią liniowo-topologiczną
. Powiemy, że zbiór
jest ograniczony w X, gdy dla każdego otoczenia zera
istnieje
, że
.
Można wykazać, że jeśli X jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to definicja ta jest równoważna definicji zbioru ograniczonego w sensie przestrzeni metrycznych.
Przypisy
Zobacz też