Mechanika kwantowa
|
|
|
Zasada nieoznaczoności Heisenberga |
Równanie Schrödingera
Wstęp Aparat matematycznyInterpretacje |
---|
de Broglie'a-Bohma · Świadomość wywyołuje kolaps · Spójne historie kwantowe ·
Kopenhaska
· Statystyczna · Zmiennych ukrytych · Wielu światów · Logika kwantowa · Popularna · Stochastyczna · Transakcjonalna |
|
|
Dane dotyczące rozkładu prędkości
atomów
dla
kondensatu Bosego-Einsteina
pozwalają dostrzec w eksperymencie wpływ zasady nieoznaczoności na obiekty kwantowe. Kolory umowne oznaczają ilość atomów odpowiadających każdej
prędkości
– czerwony oznacza mniejszą ilość, a biały większą.
Lewy: tuż przed pojawieniem się kondensatu Bosego-Einsteina.
Środkowy: zaraz po otrzymaniu kondensatu.
Prawy: Po dalszym
parowaniu
pozostała próbka prawie czystego kondensatu.
Nachylenie zbocza szczytu musi być łagodne, bo inaczej złamana zostałaby zasada nieoznaczoności: Błąd określenia pozycji atomów jest bardzo mały i dlatego błąd pomiaru
pędu
(prędkości) musi być odpowiednio większy, aby ich iloczyn był większy niż stała.
Zasada nieoznaczoności (zasada nieokreśloności) mówi, że istnieją takie pary wielkości, których nie da się jednocześnie zmierzyć z dowolną dokładnością. O wielkościach takich mówi się, że nie komutują. Akt pomiaru jednej wielkości wpływa na układ tak, że część
informacji
o drugiej wielkości jest tracona. Zasada nieoznaczoności nie wynika z niedoskonałości metod ani instrumentów pomiaru, lecz z samej natury rzeczywistości.
Matematyczna postać zasady
Zasada nieoznaczoności mówi, że nie można z dowolną dokładnością wyznaczyć jednocześnie położenia i
pędu
cząstki. Odkryta i sformułowana przez
Wernera Heisenberga
w
1927
roku, jest konsekwencją
dualizmu korpuskularno-falowego
. Matematyczna postać zasady nieoznaczoności:
gdzie:
Jest uogólniana na inne pary (kanonicznie sprzężonych)
wielkości fizycznych
, np.
czas
i
energię
– nie można z dowolną dokładnością wyznaczyć jednocześnie czasu życia nietrwałej
cząstki
i energii stowarzyszonej z nią
fali de Broglie'a
:
gdzie:
- ΔE – nieokreśloność pomiaru energii (odchylenie standardowe energii),
- Δt – nieokreśloność pomiaru czasu (odchylenie standardowe czasu).
Zależność ta pierwszy raz została zaproponowana przez Leonida Mandelshtama oraz
Igora Tamma
w roku
1945
.
Ważne jest by podkreślić, że Δx itd. nie są niepewnościami pomiarowymi wynikającymi z niedoskonałości urządzeń lub metody pomiarowych, ale rozrzutami wyników (wariancją) wynikających z istoty samego pomiaru lub istoty samej mechaniki kwantowej (
interpretacja kopenhaska
). Z matematycznego punktu widzenia zasada nieoznaczoności jest konsekwencją braku komutacji operatorów położenia i pędu
gdzie
komutator
[A,B]=AB – BA. W mechanice kwantowej operatory opisujące wielkości fizyczne (
obserwable
) nie muszą komutować (być przemienne). Konsekwencją tego jest zasada nieoznaczoności. Zachodzi ona dla dowolnych dwóch obserwabli (A i B) gdy tylko [A,B] jest różne od zera.
Samą zasadę nieoznaczoności można spróbować zrozumieć na przykładzie: wyobraźmy sobie, że wykonujemy zdjęcie
aparatem fotograficznym
. Na zdjęciu widzimy pędzący samochód, o znanej długości. W zależności od szybkości
migawki
ruszający się samochód będzie mniej lub bardziej rozmyty. Jeżeli czas naświetlania będzie duży, to samochód wyda się na zdjęciu dłuższy. Jeżeli zmierzymy długość samochodu na zdjęciu, to możemy określić jego prędkość: v = (l' − l) / t
- przy czym l' – długość samochodu na zdjęciu
- l – rzeczywista długość samochodu
- t – czas otwarcia migawki
- (długości l' i l muszą być w jednej skali)
W tej sytuacji nie da się jednak dokładnie określić położenia samochodu, bo obraz jest rozmyty.
Zmniejszając czas migawki uzyskamy mniej rozmyty obraz, który pozwoli na lepsze określenie położenia samochodu w chwili robienia zdjęcia, jednak będzie on mniej rozmyty i dokładne określenie prędkości będzie coraz trudniejsze. W granicznym przypadku (t=0) będzie można precyzyjnie określić położenie, ale nie uzyska się żadnych informacji o prędkości.
Powyższy przykład nie odpowiada w pełni zasadzie nieoznaczoności; został tu podany jedynie w celu ułatwienia zrozumienia istoty tej zasady.
W
Krótkiej historii czasu
Stephena Hawkinga
zasada nieoznaczoności została wyjaśniona w sposób następujący. Załóżmy, że chcemy poznać położenie cząstki. Oczywistą metodą jest ją naświetlić (analogicznie przy technikach skaningowych itp.). Jednak fotony w kontakcie z badaną cząstką zmieniają jej pęd w sposób niedający się przewidzieć. Aby temu zapobiegać, można użyć fali o mniejszej energii (tzn. dłuższej); wówczas jednak rozdzielczość uzyskanego obrazu jest gorsza, a zatem nieoznaczoność położenia większa.
Kwantowe implikacje
W skalach, które bada
mechanika kwantowa
nie ma możliwości nieskończenie dokładnego pomiaru jednocześnie położenia i pędu cząstki, gdyż każdy pomiar z samej swojej natury wpływa na badany obiekt, zmieniając jego właściwości. Można przewidywać jedynie średnie wyniki z serii wielu pomiarów. Ważne jest by podkreślić, że Δx itd. nie są błędami pomiarowymi wynikającymi z niedoskonałości urządzeń lub metod pomiarowych, ale niepewnościami wyników (wariancją) wynikających z istoty samego pomiaru.
Sam pomiar bowiem w przeważającej większości przypadków zmienia stan układu. Przykładowo, obserwując dany obiekt oświetlamy go
fotonami
. Im dokładniej chcemy zbadać położenie obiektu, tym krótsza musi być
długość fali
fotonów używanych do obserwacji. Fotony o krótszej długości fali niosą większą
energię
i
pęd
, a przez to bardziej zaburzają badany układ.
Stała Plancka
(h = 6,626·10-34 J·s) wyznacza tu pewną charakterystyczną skalę. Obiekty, dla których długość fali jest zbliżona do jej wielkości, nabierają na skutek działania niesamowitych własności. Przykładem może być tu
elektron
, który na skutek
tunelowania
, może przejść przez odpowiednio wąską barierę potencjału, mimo że jego energia jest mniejsza od wysokości tej bariery.
Zależność opisująca zasadę nieoznaczoności dla energii i czasu prowadzi do zaskakującego wniosku. Mechanika kwantowa pozwala na pozorne złamanie
zasady zachowania energii
. Z nicości może wyłonić się wirtualna cząstka, jeżeli po chwili ponownie zniknie. Proces ten nazywany jest
fluktuacją kwantową
i zachodzi tak szybko, że nie jest dla nas zauważalny. Zgodnie z mechaniką kwantową najdoskonalsza
próżnia
wypełniona jest oceanem wirtualnych cząstek, które stale pojawiają się i znikają. W skali makro bilans energetyczny wychodzi na zero, dzięki czemu zasada zachowania energii nie zostanie złamana. Eksperymentalnie można zaobserwować istnienie wirtualnych cząstek dzięki
efektowi Casimira
.
Jednak obiekty fizyczne znacznie większe od
długości Plancka
nie mają takich własności. Przykładowo, mrówka o masie 0,1
g
i długości 1 mm, która w czasie 1
s
pokonuje drogę 1
mm
ma pęd równy 0,1 g·mm/s. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności jej pozycję i pęd można równocześnie zmierzyć z dokładnością nie większą niż do 10 miejsca po przecinku. Taka dokładność jest zupełnie wystarczająca w codziennych doświadczeniach, dlatego efekty kwantowe nie są tu możliwe do zaobserwowania.
Minimalna długość i czas
Naukowcy spierają się co do skutków zasady nieoznaczoności. Jedną z jej implikacji jest istnienie pewnej elementarnej
długości Plancka
, która wyznacza granice pomiarów. Jej wartość szacuje się na 10-35 metra. Wartość tę można interpretować w ten sposób, że każda inna długość jest jej wielokrotnością. Idąc dalej niektórzy naukowcy uważają, że czas też nie płynie w sposób ciągły, lecz zmienia się skokowo. Na jedną sekundę przypada ok. 5·1044 elementarnych kroków, w których zmienia się stan naszego otoczenia. Odwrotność tej liczby określa się jako
czas Plancka
. Jednak długość Plancka i czas Plancka znajduje się daleko poza zasięgiem dokładności pomiarów nawet w największych
akceleratorach cząstek
.
Praktyczne implikacje
Konsekwencje obowiązywania zasady nieoznaczoności są niedostrzegalne dla nieuzbrojonego oka, ale przy produkcji coraz mniejszych układów elektronicznych coraz częściej dochodzi się do poziomów, na których efekty kwantowe trzeba brać pod uwagę.
Ścisła postać
Średnia wartość
obserwabli
Q jest dana wzorem
Niepewność określa się wzorem
czyli
Na przykład
Właśnie dla tak zdefiniowanych Δx, Δp jest spełniona nierówność
przy czym rzeczywiście istnieją funkcje falowe, dla których jest to równość i takie, dla których nierówność jest ostra[1].
Ogólna postać zasady
Jeżeli w danym stanie kwantowym wektory i są prawidłowo określonymi
wektorami stanu
, to zachodzi:
gdzie:
- σ –
odchylenie standardowe
- – dowolne
obserwable
Dowód
Z
nierówności Schwarza
w
przestrzeni Hilberta
Z
nierówności trójkąta
dla liczb zespolonych
Wtedy również dla
ponieważ liczba komutuje z operatorem, co dowodzi zasadę nieoznaczoności.
Przypisy
- ↑ Eyvind H. Wichmann: Fizyka kwantowa. Warszawa: PWN, 1973, ss. 377-382.