Dyskretna transformata Fouriera
Dyskretna transformata Fouriera (DFT z
ang.
Discrete Fourier Transform) jest
transformatą Fouriera
wyznaczoną dla
sygnału
próbkowanego
, a więc
dyskretnego
.
DFT przekształca skończony
ciąg
próbek sygnału
w
ciąg
harmonicznych
zgodnie ze wzorem:
![A_{k}=\sum_{n=0}^{N-1}{a_{n}w_{N}^{-kn}}, \ 0 \leqslant k \leqslant N-1](http://upload.wikimedia.org/math/b/9/3/b932a2c37b97f7e034ba8f9d456b67f6.png)
![w_{N}=e^{i\frac{2\pi}{N}}](http://upload.wikimedia.org/math/0/5/a/05a81b0a397cdb8a386711e1673e1288.png)
gdzie:
i -
jednostka urojona
, k - numer harmonicznej, n - numer próbki sygnału, an - wartość próbki sygnału, N - liczba próbek.
Przekształcenie odwrotne
Przekształcenie odwrotne do DFT dane jest następującym wzorem:
![a_{n}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{A_{k}w_{N}^{kn}}, \ 0 \leqslant n \leqslant N-1](http://upload.wikimedia.org/math/5/5/4/554812bdd21c5d74556f906699706168.png)
Postać macierzowa DFT
Wzory na przekształcenie proste, jak i odwrotne można zdefiniować w postaci macierzowej, odpowiednio w sposób następujący:
![\mathbf{A}=\mathbf{Ma}](http://upload.wikimedia.org/math/8/1/2/812468ae1b80269adf6a7035653de8b6.png)
![\mathbf{a}=\mathbf{WA}](http://upload.wikimedia.org/math/8/b/0/8b04dc7744bf99dec7fedfbeabdc0c5b.png)
Macierze
a, A, M, W mają następującą postać:
![\mathbf{A}=\left[\begin{matrix}A_{0} \\A_{1} \\\vdots \\A_{N-1}\end{matrix}\right]](http://upload.wikimedia.org/math/e/4/0/e40f014a39e3d45ce8147016c23c0c90.png)
![\mathbf{W}=\frac{1}{N}\left[\begin{matrix}w_{N}^{0\cdot 0} & w_{N}^{1\cdot 0} & \dots & w_{N}^{(N-1)\cdot 0} \\w_{N}^{0\cdot 1} & w_{N}^{1\cdot 1} & \dots & w_{N}^{(N-1)\cdot 1} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\w_{N}^{0\cdot (N-1)} & w_{N}^{1\cdot (N-1)} & \dots & w_{N}^{(N-1)(N-1)} \end{matrix}\right]](http://upload.wikimedia.org/math/3/b/d/3bddf7d9bd969eb86017ea472d4416e5.png)
Macierze M i W mają wymiar NxN oraz spełniają warunek W = M − 1 lub zapisując inaczej WM = I, gdzie I -
macierz jednostkowa
.
Dwuwymiarowa dyskretna transformata Fouriera
Dwuwymiarowe przekształcenie Fouriera w punkcie (m,n) definiujemy jako:
![V(m,n)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}{U(x,y)w_{N}^{-ny}w_{M}^{-mx}}](http://upload.wikimedia.org/math/6/b/e/6be3386cd34f561864674bd6a5634e7a.png)
Przekształcenie odwrotne:
![U(x,y)=\frac{1}{N M}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{M-1}{V(m,n)w_{N}^{ny}w_{M}^{mx}}](http://upload.wikimedia.org/math/a/2/d/a2d85078229774f604a5a9ff99bc9934.png)
Dwuwymiarowa transformata Fouriera wykorzystywana jest m.in. do cyfrowego przetwarzania obrazów.
Zobacz też