Potencjał - pole skalarne określające pewne pole wektorowe. W
fizyce
dla wielu pól różnica potencjałów w dwóch punktach określa ilość
energii
koniecznej do przemieszczenia ciała z jednego punktu do drugiego.
Definicja
Jeżeli dla danego
pola wektorowego
istnieje pole skalarne
, takie że w każdym punkcie jego
gradient
jest równy wektorowi danego pola ze zmienionym zwrotem:
![\vec A = - \nabla \varphi (\vec r)](http://upload.wikimedia.org/math/7/2/4/7246349f988f08a21ef7801a51c79f32.png)
to pole
nazywamy polem potencjalnym, a
jego potencjałem. Definicja potencjału skalarnego nie określa go jednoznacznie, bo dodanie do
jakiejkolwiek wielkości stałej C nie wpływa na wektor
. Gdy trzeba pozbyć się tej dowolności, wprowadza się dodatkowy warunek określający wartość stałej C[1].
W konkretnych przypadkach pól fizycznych spotyka się w literaturze inne definicje potencjału, ale wszystkie one są równoważne powyższej.
Właściwości
- W przypadku pola sił potencjalność tego pola jest równoważna
zachowawczości
tych sił.
- Warunkiem koniecznym i wystarczającym do potencjalności pola jest jego bezwirowość, czyli zerowa
rotacja
![\operatorname{rot} \vec{A} = \nabla \times \vec{A} = 0](http://upload.wikimedia.org/math/2/d/5/2d5959a614e4d513c8c6591f583f32c5.png)
Jeżeli dla każdego punktu określonego przez wektor
pole sił dane jest funkcją
, to zależność na potencjał punktu
względem
przyjmie postać
całki krzywoliniowej
:
![Q(\vec r)=\int\limits_{L(\vec r,\vec r_0)}\vec{F}(\vec r)\mathrm{d}\vec{l},](http://upload.wikimedia.org/math/2/a/c/2ac6ff364ff58556e04454301f65b790.png)
Potencjał pola centralnego
Pole centralne
jest zawsze potencjalne. Potencjał pola centralnego zależy jedynie od odległości od centrum pola. Jeżeli środek układu współrzędnych znajduje się w centrum pola, to:
![\vec A ( \vec r) = - \frac {d \varphi (r)} {d r} \frac {\vec r } r](http://upload.wikimedia.org/math/1/e/4/1e4bde4ac04953863d81242e7c1c08cf.png)
Przykłady potencjałów pól fizycznych
W fizyce najpopularniejsze pola potencjalne to
pole grawitacyjne
oraz
pole elektryczne
. Jako punkt odniesienia do obliczania potencjału (miejsce, w którym potencjał wynosi zero) przyjmuje się często
nieskończoność
. W
elektrotechnice
i
elektronice
bywa to często potencjał ziemi,
przewód ochronny
, czy wydzielony fragment obwodu nazywany
masą
.
Potencjał pola elektrycznego
- Inna spotykana definicja potencjału pola elektrycznego to stosunek
energii potencjalnej
Ep ładunku próbnego q umieszczonego w tym punkcie, do wartości tegoż ładunku q[2][3]:
![\varphi_E = \frac {E_p}{q}](http://upload.wikimedia.org/math/5/d/9/5d9eeb7258765098eb7981f85f3bb7f3.png)
- Niekiedy potencjał pola elektrycznego w punkcie "P" definiuje się również jako stosunek
pracy
W wykonanej przez
siłę
elektryczną przy przenoszeniu
ładunku
q z tego punktu do nieskończoności, do wartości tego ładunku (Definicja ta z góry zakłada zero potencjału elektrycznego w nieskończoności):
.
- Zgodnie z ogólną definicją potencjału potencjałem pola elektrycznego
jest pole skalarne
, takie że:
![\vec E (\vec r) = - \nabla \varphi_E (\vec r)](http://upload.wikimedia.org/math/e/a/1/ea12fae566dc524bd35964f2165a28bf.png)
Jednostką potencjału pola elektrycznego jest
wolt
(V). Bardzo często używa się też pojęcia
napięcia elektrycznego
będącego różnicą potencjałów w dwóch punktach.
Potencjał harmoniczny
Pole siły harmonicznej określone jest przez:
![\vec{F}(\vec r)=-k \vec{r}](http://upload.wikimedia.org/math/5/4/a/54a66a5aaf0d5b7fbe891d5cb57f2899.png)
Pole jest centralne, potencjał (tożsamy z energią potencjalną) wynosi
![\varphi_S = \frac {k r^2} 2](http://upload.wikimedia.org/math/6/7/1/67133aa168980aff526bd0357923b3bd.png)
Często stosuje się ten potencjał w postaci jednowymiarowej, wtedy
oraz ![\varphi_S = \frac {k x^2} 2](http://upload.wikimedia.org/math/2/f/1/2f17ac1da4c45f8640e13b5a36854a84.png)
Potencjał pola prędkości
Potencjał pola prędkości ośrodka ciągłego jest przykładem potencjału nie mającego bezpośredniego związku z energią. Wprowadza się go w mechanice ośrodków ciągłych by otrzymać opis ruchu niezależny od wyboru układu odniesienia[4].
W
przepływie bezwirowym
płynu nielepkiego pole prędkości ośrodka
można opisać przez jej potencjał
:
![\vec v (\vec r) = - \nabla \varphi (\vec r)](http://upload.wikimedia.org/math/0/1/c/01c28abcaf42188713ea04b48bf88ab4.png)
Przepływ dla którego można określić potencjał pola prędkości nazywa się
przepływem potencjalnym
.
Prędkość w powyższym wzorze oznacza prędkość ośrodka w ustalonym punkcie przestrzeni (podejście
Eulera
), a nie prędkość ustalonego punktu ośrodka poruszającego się w przestrzeni (częściej stosowane podejście
Lagrange'a
).
Potencjał pola grawitacyjnego
- Zgodnie z ogólną definicją potencjału potencjałem pola grawitacyjnego
jest pole skalarne
, takie że:
![\vec g (\vec r) = - \nabla \varphi_g (\vec r)](http://upload.wikimedia.org/math/1/1/5/115eb98797ff11c5b1ad8203e118c83e.png)
![\vec g (\vec r) = - \frac { G M } {r^2} \frac {\vec r} r](http://upload.wikimedia.org/math/f/4/8/f48242140d4e897f4a38360fb2dd9590.png)
- gdzie G jest stałą grawitacyjną. Pole grawitacyjne jest wtedy centralne, a jego potencjał wynosi
![\varphi_g (r) = - \frac {G M} r](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/e/52e79c542f488bfbf113ed7035edf166.png)
Przypisy
- ↑ 1,0 1,1 Andrzej Januszajtis: Pola. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982. .
- ↑ Jay Orear: Fizyka.. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1990. .
- ↑ David Halliday: Podstawy fizyki.. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003. .
- ↑ A.K Wróblewski, J.A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki.. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 26. .
Zobacz też