Równanie –
forma zdaniowa
postaci , gdzie są
termami
i przynajmniej jeden z nich zawiera jakąś
zmienną
. Jest to więc
formuła atomowa
z co najmniej jedną
zmienną wolną
. Term po lewej stronie znaku równości nazywa się lewą stroną równania, a term po prawej – prawą stroną równania. Szczególnym przypadkiem równania jest forma, w której jeden z termów jest stałą np,0, czyli gdy ma postać .
Zmienne równania oznacza się zwykle symbolami literowymi i nazywa
niewiadomymi
.
Dziedzina i rozwiązania równania
Zbiór wszystkich wartości, które po podstawieniu pod niewiadome czynią z formuły zdanie logiczne, nazywa się dziedziną równości.
Dany ciąg wartości spełnia równanie, jeżeli po podstawieniu ich w miejsce niewiadomych otrzymamy zdanie logiczne prawdziwe. Ciąg tych wartości nazywa się rozwiązaniem równania.
Rozwiązywaniem równania nazywa się proces wyznaczania wszystkich jego rozwiązań. Równanie, które nie ma rozwiązań, nazywa się sprzecznym, jeżeli ma ono tylko jedno rozwiązanie, to nazywa się je oznaczonym, jeżeli ma ich nieskończenie wiele, to jest to równanie nieoznaczone. Równanie, które dla dowolnych wartości z dziedziny podstawionych w miejsce nierówności ma rozwiązanie nazywa się równaniem tożsamościowym lub tożsamością.
Przypadkami szczególnymi równań są równania postaci f(x) = 0, gdzie f jest dowolną
funkcją
. Wówczas pierwiastki tego równania z definicji są
miejscami zerowymi
tej funkcji. Jeżeli f jest
wielomianem
, to
twierdzenie Bézouta
mówi, iż
pierwiastek wielomianu
jest zarazem miejscem zerowym, czyli rozwiązaniem odpowiedniego równania algebraicznego.
Przykłady
- (równanie sprzeczne – nigdy nie jest spełnione).
- 1 − sin2x = cos2x (równanie tożsamościowe).
- sinx = 1 dla (równanie nieoznaczone – ma nieskończenie wiele rozwiązań).
- .
- (równanie bez niewiadomych).
- (równanie z dwiema niewiadomymi). Równanie to jest spełnione przez nieskończenie wiele par liczb, czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań. Każde rozwiązanie dane jest regułą: x dowolne, y = 3 − x. Biorąc za x dowolne liczby rzeczywiste i wyliczając y z podanego wzoru, można otrzymać każde rozwiązanie badanego równania. Dla x = 2 otrzymujemy y = 1; dla x = − 1 mamy y = 4 itd.
Rodzaje
Metody rozwiązywania
Przed rozwiązanie jakiegokolwiek równania należy je uporządkować tzn. "ustawić" zmienne w porządku malejącym, czyli według malejącej potęgi. Ważne aby w przypadku układów równań zachowywać kolejność zmiennych. Ułatwia to późniejsze rozwiązywanie. Na samym początku należy zastanowić się czy dane równanie da się w jakiś sposób uprościć (
Metoda równań równoważnych
, np. zwinąć wzór, wyłączyć wspólny czynnik przed nawias, pogrupować wyrazy). Warto nad tym poświęcić kilka chwil, gdyż może to pozbawić konieczności żmudnego liczenia. Następnym etapem jest wybór sposobu rozwiązania. Co do samych sposobów rozwiązywania to jeżeli nie udało się uprościć równania trzeba się zdać na wzory i twierdzenia lub rozwiązać równanie geometrycznie, rysując odpowiednie wykresy. Przy tej okazji należy badać dziedzinę równania aby przy ostatecznym rozwiązaniu uniknąć wyniki nie należące do zbioru argumentów. Można to zrobić na dwa sposoby:
- wypisywanie założeń przy każdym przekształceniu (np. podnoszenie do kwadratu, dzielenie przez zmienną),
- sprawdzenie wszystkich otrzymanych wyników przez podstawienie (tzw.
Metoda analizy starożytnych
).
W układach równań jest kilka metod ich rozwiązywania. Można stosować tylko jedną albo wszystkie naraz – panuje tu pełna dowolność. Sposoby rozwiązywania układów równań:
- przez podstawianie (aż do otrzymania jednego równania, trzeba z jednego równania trzeba wyznaczyć jedną zmienną i wstawić ją do drugiego),
- przeciwnych współczynników (ustalaniw współczynników tak, aby po dodaniu stronami niektóre zmienne się skróciły),
-
wzory Cramera
,
-
metoda Gaussa
Zobacz też
Źródła
- Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, s. 97. .