Funkcja gęstości prawdopodobieństwa - funkcja rzeczywista, która pozwala wyrazić
prawdopodobieństwo
wystąpienia dowolnego zdarzenia B przy pomocy wartości
całki Lebesgue'a
z tej funkcji po zbiorze B. O funkcji gęstości mówi się w konkteście
rozkładów prawdopodobieństwa
na prostej jak i wielowymiarowych. Rozkłady mające gęstość nazywane są rozkładami ciągłymi. Często mówi się o gęstości zmiennej losowej w sensie gęstości rozkładu zmiennej losowej.
Definicja
Niech P będzie rozkładem prawdopodobieństwa w przestrzeni (w szczególności rozkładem na prostej dla N = 1).
Funkcję borelowską
nazywamy gęstością rozkładu P gdy dla każdego zbioru borelowskiego
- .
Jeśli f jest gęstością rozkładu P, to w szczególności, na mocy powyższej definicji:
- .
W drugą stronę, każda
nieujemna
funkcja borelowska f, spełniająca powyższy warunek, jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa.
Wybrane własności w przypadku jednowymiarowym
Dystrybuanta
Załóżmy, że f jest gęstością rozkładu P. Wówczas
- ,
gdzie FP jest
dystrybuantą
rozkładu P – gęstość (o ile istnieje) pozwala przy swojej pomocy wyrazić w prosty sposób dystrybuantę rozkładu, co często bywa przydatne, gdy dystrybuanta nie daje się wyrazić w sposób elementarny (np.
rozkład normalny
). Z powyższego związku między gęstością a dystrybuantą można zauważyć, że warunkiem koniecznym istnienia gęstości jest aby dystrybuanta rozkładu była prawie wszędzie ciągła – nie jest to jednak warunek wystarczający – istnieją dystrybuanty ciągłe, które nie mają gęstości (np.
dystrybuanta Cantora
). Warunkami wystarczającymi na istnienie gęstości dla danego rozkładu jest
bezwzględna ciągłość
bądź ograniczone wahanie jego dystrybuanty.
Jeśli F jest dystrybuantą to jest ona prawie wszędzie
różniczkowalna
oraz jeśli (określona prawie wszędzie) jest prawie wszędzie różna od zera, to jest ona gęstością.
Wartość oczekiwana
Jeżeli X jest jednowymiarową zmienną losową o rozkładzie ciągłym z gęstością f(x), to jej
wartość oczekiwana
wyraża się wzorem:
- .
Suma zmiennych losowych
Jeżeli X i Y są
niezależnymi zmiennymi losowymi
oraz przynajmniej jedna ma rozkład ciągły, to ich suma ma rozkład ciągły, jeśli ponadto obydwie mają rozkłady ciągłe, to gęstość ich sumy jest
splotem
ich gęstości.
Mechanika kwantowa
W
kopenhaskiej interpretacji
mechaniki kwantowej
wszelkie obserwowalne własności cząstek (na przykład ich
położenia
,
pędy
,
energie
) opisywane są
funkcjami falowymi
. Przeprowadzenie pomiarów tej samej wielkości mierzalnej (tzw.
obserwabli
) w identycznych układach o identycznych
stanach kwantowych
może prowadzić do różnych wyników. W istocie, wynik pomiaru jest zmienną losową o określonym rozkładzie prawdopodobieństwa. W przypadku, gdy mierzoną wielkością jest położenie cząstki w stanie opisywanym funkcją falową gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie dana jest równaniem:
gdzie * oznacza
sprzężenie zespolone
.