Iloczyn nieskończony - pojęcie analogiczne
szeregowi
; iloczyn nieskończenie wielu liczb (
rzeczywistych
lub
zespolonych
).
Ustalenia wstępne
Jeżeli jest
ciągiem
liczb, to liczby nazywamy iloczynami częściowymi tego ciągu. Symbol
nazywamy iloczynem nieskończonym ciągu pn, natomiast
granicę
(oznaczaną również tym samym symbolem) ciągu iloczynów częściowych
(skończoną bądź nie) nazywamy wartością tego iloczynu.
Jeżeli iloczyn nieskończony ma granicę skończoną i różną od zera, to nazywamy go zbieżnym - w przeciwnym wypadku rozbieżnym. Jak łatwo zauważyć, wystarczy by jeden z czynników iloczynu był zerowy, aby wartość iloczynu była zerem, tj. iloczyn nieskończony był rozbieżny.
Związek z szeregami
Podobnie jak w przypadku szeregów, odrzucenie skończonej liczby wyrazów w ciągu pn nie wpływa na zbieżność iloczynu nieskończonego tego ciągu (o ile wśród odrzucanych wyrazów nie ma liczby 0). Można podać także analogiczny warunek konieczny zbieżności: Jeżeli iloczyn nieskończony ciągu pn jest zbieżny, to
- .
Zbieżność szeregu a zbieżność iloczynu nieskończonego
Iloczyn nieskończony ciągu pn jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
- .
Jeżeli warunek ten jest spełniony i L jest sumą szeregu, to wartość iloczynu nieskończonego wynosi eL.
Można podać też inne kryteria zbieżności:
- Jeżeli dla dostatecznie dużych n wyrazy ciągu liczbowego an są stałego znaku, to iloczyn nieskończony
- jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg .
- Jeżeli zbieżne są szeregi: i , to zbieżny jest iloczyn .
Rozwinięcia funkcji w iloczyny nieskończone
- - szczególny przypadek -
iloczyn Wallisa
- -
Funkcja ζ
Riemanna, pn oznacza ciąg
liczb pierwszych
Źródła
-
Grigorij Michajłowicz Fichtenholz
: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2. Warszawa: PWN, 1966.