Iloczyny (produkty) grup – w
teorii grup
są to sposoby budowania nowych
grup
z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda
grupa abelowa skończenie generowana
jest iloczynem prostym
grup cyklicznych
.
Iloczyn kartezjański
Niech będzie
rodziną
grup, gdzie I jest co najwyżej
przeliczalnym
zbiorem indeksów. Rozważmy zbiór
z
działaniem
- .
Powyższe działanie wprowadza w tym zbiorze strukturę grupy, gdyż
Powyższą konstrukcję nazywa się iloczynem kartezjańskim grup i oznacza symbolem .
W definicji zastosowano dla każdej grupy
zapis multyplikatywny
.
Iloczyn prosty
Iloczynem (produktem) prostym (zewnętrznym) grup Gi określonych wyżej nazywa się
podgrupę
iloczynu kartezjańskiego grup określonego równością
- .
Iloczyn prosty jest więc zbiorem tych elementów iloczynu kartezjańskiego, których prawie wszystkie współrzędne są jedynkami odpowiednich grup. Grupa, która może być wyrażona jako suma prosta właściwych podgrup jest nazywana rozkładalną, w przeciwnym wypadku nosi ona nazwę nierozkładalnej.
Uwagi
Jeżeli jest
zbiorem skończonym
, to iloczyn prosty pokrywa się z iloczynem kartezjańskim grup, wówczas do jego oznaczenia stosuje się również zapis .
Jeżeli jednak jest
zbiorem przeliczalnym
, a Gi są
nietrywialne
dla nieskończenie wielu , to .
Suma prosta
Jeżeli rozważamy grupy Ai z
addytywnym sposobem zapisu
, to iloczyn prosty nazywa się wówczas sumą prostą i pisze
- .
W
algebrze abstrakcyjnej
sumy proste grup uogólnia się na sumy proste
przestrzeni liniowych
,
modułów
i innych struktur, więcej w artykule o sumach prostych modułów.
Sam zapis jest
przemienny
, tzn. dla sumy prostej dwóch grup przemiennych . Jest również
łączny
w sensie, że jeżeli oraz , to .
Jeżeli , to można udowodnić, że:
- dla dowolnych zachodzi h + k = k + h,
- dla dowolnych istnieją jednoznacznie wyznaczone takie, że g = h + k,
- zachodzi skracanie sumy w ilorazie, tzn. jest izomorficzna z H.
Fakty te uogólnia się łatwo na sumę prostą skończenie wielu grup.
Przykłady
Iloczyn półprosty
Niech będą dane grupy N i D oraz
homomorfizm
grupy D w
grupę automorfizmów
grupy N.
Iloczynem półprostym (zewnętrznym) grup N i D za pośrednictwem , oznaczanym , nazywa się grupę składająca się z elementów wraz z działaniem określonym wzorem
oraz odwrotnością daną przez
- ,
i elementem neutralnym
- (e,1)
gdzie oraz są elementami neutralnymi.
Iloczyn półprosty wewnętrzny
Niech N będzie
podgrupą normalną
w G. Dopełnieniem normalnym D podgrupy N w G nazywamy zbiór spełniający warunki oraz ND = G (równoważnie DN = G).
Grupę G nazywa się iloczynem półprostym wewnętrznym podgrup N i D, co oznacza wtedy i tylko wtedy, gdy D jest dopełnieniem normalnym N.
Swoją nazwę iloczyn ten zawdzięcza faktowi, iż w iloczynie półprostym homomorfizm jest postaci , a więc w grupę
automorfizmów wewnętrznych
grupy N; innymi słowy: zachodzi dla , czyli
sprzężenia
n przez d.
Uwagi
- wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm jest trywialny.
- jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy N,D są przemienne oraz jest trywialny.
Przykłady
Bibliografia
- Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005,
Zobacz też
Linki zewnętrzne