B jest jednym z punktów brzegowych figury.
Brzeg
zbioru
(figury, bryły) - pojęcie w
geometrii
lub
topologii
, zbiór
punktów
przestrzeni, których każde
otoczenie
zawiera punkty należące zarówno do zbioru , jak i jego
dopełnienia
.
Brzeg zbioru F zazwyczaj oznaczamy .
Punkty należące do brzegu nazywane są też punktami brzegowymi a sam brzeg zbiorem punktów brzegowych.
Przykłady
Brzeg składowych zbioru Mandelbrota o okresach 1-6
Niech R oznacza zbiór
liczb rzeczywistych
z naturalną
topologią
. Wówczas:
Ostatnie trzy przykłady pokazują, że brzeg zbioru może być zbiorem "większym" niż sam zbiór.
Własności
- Brzeg zbioru i brzeg jego
dopełnienia
są równe: (X jest całą przestrzenią topologiczną, nie posiada więc brzegu).
- Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swój brzeg.
- Zbiór jest
otwarty
wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem.
-
Domknięcie
zbioru jest równe sumie zbioru i jego brzegu.
- Brzeg zbioru jest zbiorem pustym wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty.
- W
przestrzeni euklidesowej
każdy zbiór domknięty jest brzegiem pewnego zbioru.
Poniższe zależności pozwalają zdefiniować brzeg zbioru w inny sposób:
- .
oraz oznaczają tutaj operacje
domknięcia
i
wnętrza
.
Zdefiniowane wyżej pojęcie brzegu zbioru w istotny sposób zależy od topologii przestrzeni w jakiej dany zbiór się znajduje. Jako przykład niech posłuży
koło
W naturalnej topologii przestrzeni brzeg koła tworzy
okrąg
K2:
Zanurzenie
K w powoduje, iż koło
- jest swoim własnym brzegiem – .
natomiast w topologii zrelatywizowanej do K jego brzeg jest
zbiorem pustym
.
Złożenia funkcji brzegu
Dla dowolnego zbioru S mamy , przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy brzeg zbioru S nie zawiera żadnych
punktów wewnętrznych
, tj. jest
zbiorem brzegowym
. Ma to miejsce na przykład wtedy, gdy S jest zbiorem otwartym lub domkniętym. Z kolei, ponieważ brzeg jest zbiorem domkniętym, mamy dla dowolnego zbioru S.
Omawiane tu pojęcie brzegu różni się od tego, z którym spotykamy się w teorii
rozmaitości
lub
topologii algebraicznej
podczas badania
kompleksów symplicjalnych
.
Zobacz też
wnętrze
,
zewnętrze
.