Iloczyn wektorowy - działanie przyporządkowujące parze
wektorów
wektor γ taki, że
Iloczyn wektorowy wektorów α i β oznaczany jest symbolem .
Sposób obliczania
Mając
definicję
iloczynu mieszanego
skonstruowaną za pomocą iloczynu wektorowego i
skalarnego
, można przedstawić iloczyn wektorowy jako macierz wersorów
układu kartezjańskiego
wraz ze współrzędnymi dwóch wektorów, dzięki któremu wyznaczamy iloczyn wektorowy. Zapiszmy iloczyn skalarny wektora przez iloczyn wektorowy wektorów i w następujący sposób:
Wektor jest prostopadły do wektorów oraz do i tym samym układ wektorów tworzy nową bazę o wymiarze trzy zanurzoną w starej bazie w układzie kartezjańskim o takim samym wymiarze.
W definicji iloczynu mieszanego (1) wprowadziliśmy parametr η=±1, ponieważ z definicji wspomnianego iloczynu mieszanego z na razie z niewyznaczonym parametrem wynika, że iloczyn wektorowy jest prostopadły do wektorów, z którego on jest wyznaczony. Istnieją dwa rodzaje tych wektorów, różniące się tylko zwrotami i dlatego w tej definicji występuje ten wspomniany parametr, by określić te dwa wektory. Parametr η wyznaczymy poniżej, a więc wybierzemy jeden z dwóch tych wektorów, tak by definicja iloczynu wektorowego była taka, by zbudowana na podstawie niej baza określająca nowy układ współrzędnych w oparciu o te trzy wspomniane wcześniej wektory (dwa wektory na podstawie, której jest zbudowany nasz iloczyn wektorowy i trzeci wektor, który jest wynikiem rozważanego tego iloczynu), była taka by skrętność tego nowego układu współrzędnych była zgodna ze starym układem współrzędnym, w którym współrzędne tych trzech wektorów są wyznaczone.
Niech baza starego układu odniesienia posiadała
bazę kanoniczną
. Z definicji iloczynu skalarnego możemy zatem wyznaczyć współrzędne wyniku iloczynu wektorowego, którego przedstawienie matematyczne na razie bliżej nie znany, ale chcemy wyznaczyć w prostokątnym układzie współrzędnym względem określonego wektora bazy kanonicznej. To możemy tak zrobić wykorzystując definicję iloczynu mieszanego jako iloczyn pewnego wektora (w tym przypadku są wektory bazy starego układu współrzędnych) i iloczynu wektorowego dwóch dowolnych wektorów.
Zatem wyznaczmy jego współrzędne iloczynu wektorowego względem pierwszego wektora
bazy kanonicznej
w starym układzie współrzędnych . wtedy mamy:
Następnie wyznaczmy jego współrzędne iloczynu wektorowego względem drugiego wektora
bazy kanonicznej
w starym układzie współrzędnych . wtedy mamy:
wyznaczmy jego współrzędne iloczynu wektorowego względem trzeciego wektora
bazy kanonicznej
układu współrzędnych . wtedy mamy:
Jeśli weźmiemy , to układ trzech wektorów jako nowy układ współrzędnych jest zgodny ze starym układem współrzędnym kartezjańskim, gdy
wyznacznik
macierzy przejścia
ze starego układu współrzędnych no nowego spełnia warunek det(T) > 0. Zbudujmy macierz przejścia.
Wykorzystując definicję wektora , które współrzędne są podane w punktach (2), (3) i (4), uzyskujemy wyznacznik macierzy T (5), którego zapis matematyczny wygląda następująco:
Aby w naszej nowej bazie skrętność była zgodna ze skrętnością starego układu trójwymiarowego kartezjańskiego, musi zachodzić η = 1 wedle obliczeń (6).
Udowodniliśmy więc, że iloczyn wektorowy dwóch dowolnych wektorów jest dany tak, by jego definicja na podstawie wcześniejszych rozważa i η = 1 (obliczenia (6)) była napisana następująco;
Podwójny iloczyn wektorowy
Poniżej udowodniony zostanie wzór nazywany wzorem na podwójny iloczyn wektorowy: spełniony dla dowolnych , czyli wektorów będących elementami przestrzeni trójwymiarowej.
Dowód
Dowód przeprowadzony będzie w oparciu o definicję iloczynu wektorowego i iloczynu skalarnego za pomocą współrzędnych wektorów wchodzących w skład podwójnego iloczynu wektorowego. Skorzystamy tu z nieformalnej
definicji iloczynu wektorowego w przestrzeni trójwymiarowej
jako macierzy, w której występują
ortonormalne
wersory
.
Co kończy dowód.
Własności
- Iloczyn dwóch takich samych wektorów jest wektorem zerowym, ponieważ są one liniowo zależne w trywialny sposób.
- Iloczyn wektorowy jest
antyprzemienny
(w szczególności nie jest
przemienny
). Dokładniej: iloczyn wektorowy zmienia zwrot po zamianie kolejności dowolnych dwóch argumentów:.
- Iloczyn wektorowy nie jest łączny, ale (w przestrzeni 3-wymiarowej).
- Iloczyn wektorowy danych wektorów nie zmieni się, jeśli do danego pierwszego wektora dodamy dowolną wielokrotność drugiego danego wektora lub odwrotnie,np:
Jeżeli weźmiemy dwa wektory, tzn. i , to ich iloczyn wektorowy można wyliczyć przy pomocy następującego wzoru mnemotechnicznego (nie jest on formalnie poprawny ponieważ elementami
macierzy
nie mogą być jednocześnie
liczby
i wektory):
- długość wektora wynikowego jest równa iloczynowi wartości obu wektorów wyjściowych pomnożonego przez
sinus
kąta
między nimi zawartego:
- ,
Wektor normalny a prostopadłość
Dane są 3 wektory:
Zakładamy, że wektory i są prostopadłe do wektora . Wynika więc stąd, że pomiędzy wektorem a oraz pomiędzy a nawiązuje się
relacja
prostopadłości
:
Ponieważ jest to układ dwóch
równań
z trzema
niewiadomymi
, potraktujemy niewiadomą jako pewną daną, zaś wyrazy i - jako
wyrazy wolne
, po czym przeniesiemy je na drugą stronę powyższych równań, zmieniając przy tym oczywiście ich
znaki
na przeciwne:
Następnie, korzystając ze
wzorów Cramera
, wyznaczamy wartości niewiadomych i , w zależności od wartości niewiadomej :
Powołując się na jedną z własności wyznacznika, z i możemy wyciągnąć przed nawias wyrażenie :
Powołując się na kolejną własność wyznacznika, w możemy zamienić miejscami kolumny, zmieniając przy tym znak na przeciwny:
Na końcu otrzymujemy:
Zauważmy, że wyrażenia i mają wspólny mianownik równy . Załóżmy więc, że:
Wówczas wyrażenia , i przedstawiają się następująco:
Ostatecznie, otrzymaliśmy składowe wektora normalnego , będącego iloczynem wektorowym wektorów i , tak więc prawdziwy jest wzór:
Uogólnienie - iloczyn wektorialny
Niech V będzie -wymiarową
przestrzenią euklidesową
o zadanej
orientacji
. Iloczynem wektorowym
wektorów
nazywamy wektor taki, że
- Jeśli są
liniowo zależne
, to jest wektorem zerowym.
- Jeśli są
liniowo niezależne
, to
Działanie to oznaczamy lub
Interpretacja geometryczna
W przestrzeni -wymiarowej, długość wektora otrzymanego jako iloczyn wektorowy danych n − 1 wektorów jest równa
objętości
równoległościanu
rozpiętego na tych wektorach (otrzymujemy wektor zerowy, gdy dane wektory są liniowo zależne). Ponadto wektor wynikowy jest prostopadły do wszystkich danych wektorów i jest zorientowany tak, że baza oparta na danych wektorach i wektorze wynikowym jest dodatnio zorientowana.
W przestrzeni trójwymiarowej, długość iloczynu wektorowego jest równa iloczynowi długości pierwszego wektora i długości rzutu drugiego wektora na kierunek prostopadły do pierwszego wektora, czyli polu
równoległoboku
na nich rozpiętego. Wektor zerowy otrzymamy, gdy jeden z danych wektorów jest zerowy lub gdy dane wektory są równoległe.
Bibliografia
- I.N. Bronsztejn: K.A.Siemiendiawjew Matematyka Poradnik encyklopedyczny - PWN Warszawa 1996
Zobacz też