Zbiór miary zero
Zbiór miary zeroZbiory miary zero – w
analizie matematycznej
,
teorii mnogości
, a przede wszystkim w
teorii miary
podzbiory rozważanej przestrzeni, które są „małe” lub z punktu widzenia
miary
. DefinicjeNiech będzie
przestrzenią z miarą
.
Podzbiór
A przestrzeni X nazywany jest zbiorem μ-miary zero (lub krótko: zbiorem miary zero, jeśli z kontekstu wynika o jaką miarę chodzi), gdy - A jest -mierzalny, tzn.
- .
Podzbiory zbiorów miary zero (które nie muszą być mierzalne w przypadku miar, które nie są
miara zupełna
) nazywa się zbiorami zaniedbywalnymi (w sensie rozważanej miary). Jeżeli miara nie jest sprecyzowana, to dla
przestrzeni euklidesowej
przyjmuje się domyślnie
miarę Lebesgue'a
λn, z kolei gdy dyskutowana przestrzeń jest
lokalnie zwartą
grupą topologiczną
, to na ogół mówi się o zbiorach miary zero względem (lewostronnie niezmienniczej)
miary Haara
. Mówi się, że pewna własność zachodzi prawie wszędzie, jeżeli zbiór punktów nie mających tej własności jest zbiorem miary zero (względem ustalonej miary). PrzykładNiech na przestrzeni , wówczas - są równe prawie wszędzie wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest zbiorem miary zero,
- ciąg (fk)k jest prawie wszędzie zbieżny do f wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest zbiorem miary zero,
- f jest ciągła prawie wszędzie wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór nie jest ciągła w punkcie jest zbiorem miary zero.
Zbiory miary zero Lebesgue'aW przypadku miary Lebesgue'a, możemy zdefiniować zbiory miary zero bez odwoływania się bezpośrednio do pojęcia miary. Niech . Powiemy, że A jest zbiorem miary zero (w sensie Lebesgue'a), jeśli dla każdego można wybrać taki ciąg
odcinków
otwartych , że
oraz - .
Powyżej, dla odcinka otwartego I = (a,b), długość odcinka I wynosi | I | = b − a. Jeśli rozważaną przestrzenią jest , to zamiast odcinków używamy tzw.
przedziałów wielowymiarowych
, czyli kostek otwartych – zbiorów postaci , gdzie są przedziałami otwartymi oraz - .
Przykłady i własnościNiech będzie rodziną wszystkich podzbiorów
prostej rzeczywistej
, które są miary zero Lebesgue'a. - Trójkowy
klasyczny zbiór Cantora
jest zbiorem miary zero. Należy jednak podkreślić, że nie wszystkie zbiory Cantora mają tę własność – poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora dowolnej skończonej miary.
- Prostą rzeczywistą można przedstawić jako
sumę
dwóch zbiorów, , takich że , a K jest
zbiorem pierwszej kategorii
.
- Aby podać przykład takich zbiorów ustalmy numerację zbioru liczb wymiernych (przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest
przeliczalny
). Dla , niech będzie odcinkiem otwartym o środku w qn i długości 2 − (n + m). Wówczas zbiór jest miary zero, ale jego
dopełnienie
jest pierwszej kategorii.
- Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez
liczby Liouville'a
: zbiór liczb Liouville'a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii.
- jest
σ-ideałem podzbiorów
prostej. Zawiera on wszystkie zbiory jednopunktowe, a więc także i wszystkie
zbiory przeliczalne
.
- Każdy zbiór z zawarty jest w
zbiorze typu Gδ
należącym do .
- Każda rodzina rozłącznych
borelowskich
podzbiorów , które nie są miary zero (w sensie Lebesgue'a) jest co najwyżej przeliczalna.
- Konsekwencją
zasady Cavalieriego
jest fakt mówiący, że jeżeli E jest podzbiorem miary zero przestrzeni , to
- dla prawie wszystkich ,
- dla prawie wszystkich .
- (i) ,
- (ii) ,
- (iii) .
Bibliografia-
Stanisław Łojasiewicz
: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa:
PWN
, 1973, ss. 144-145.
- John C. Oxtoby: Measure and Category: A Survey of the Analogies Between Topological and Measure Spaces. New York - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag, 1980, ss. 2-5.
Zobacz też
Inne hasła zawierające informacje o "Zbiór miary zero":
Biskup
...
Trzcina cukrowa
...
Sortowanie
...
Grupa
...
Tomasz Zan (poeta)
...
Świadomość społeczna
...
Samuel Johnson
...
Musical
...
Rekultywacja jezior
...
Konstanty Fredro
...
Inne lekcje zawierające informacje o "Zbiór miary zero":
Zbiory liczbowe (plansza 14)
...
Wielkości fizyczne i ich jednostki (plansza 3)
...
Kąty (plansza 14)
...
|