Gaz Fermiego, (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) jest to model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących
fermionów
. Jest
kwantowomechanicznym
odpowiednikiem klasycznego
gazu doskonałego
dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca. Zachowanie
elektronów
w
metalach
i
półprzewodnikach
,
neutronów
w
gwiazdach neutronowych
może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.
Opis matematyczny
Cząsteczki gazu są w takiej sytuacji opisywane przez
statystykę Fermiego-Diraca
. Najprostszy
hamiltonian
dla takich nieoddziałujących fermionów w
przestrzeni Focka
można zapisać wykorzystując
operatory kreacji i anihilacji
:
gdzie
- En – energia n-tego stanu
- μ –
potencjał chemiczny
Energia wewnętrzna gazu Fermiego
Do dalszych obliczeń przyjmiemy μ = 0.
Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego:
gdzie
- –
gęstość stanów
- m – masa fermionów
- h –
stała Plancka
- V – objętość, w której znajdują się fermiony
- –
rozkład Fermiego-Diraca
- – czynnik Boltzmanna
Stosując proste podstawienie otrzymujemy:
Wartością powyższej całki jest funkcja
eta Dirichleta
od 3/2 razy
gamma Eulera
od 3/2 . Ostatecznie otrzymujemy:
Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego:
otrzymujemy:
Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:
Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.
Ciśnienie gazu Fermiego
Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:
Ponieważ liczba cząstek jest liniową funkcją objętości otrzymujemy
gdzie
n – liczba cząstek w danej objętości, nazywana
koncentracją
cząstek. Stąd
Zobacz też:
gaz fotonowy