Układ równań –
koniunkcja
pewnej liczby (być może nieskończonej[1])
równań
.
Rozwiązaniem układu równań jest każde przyporządkowanie wartości (liczb w przypadku układu równań algebraicznych,
funkcji
w przypadku układu równań funkcyjnych itd.)
niewiadomym
, które spełniają każde z równań składowych. Innymi słowy jest to rozwiązaniem układu równań
część wspólna
zbiorów rozwiązań wszystkich tych równań.
Układ równań nazywa się sprzecznym, jeżeli nie ma on rozwiązań.
Historia
Rozwiązywaniem układów równań zajmowano się już ponad 3000 lat temu. Najstarsze przykłady układów równań pochodzą z glinianych tabliczek, odkrytych podczas wykopalisk archeologicznych na terenie starożytnej
Babilonii
. Układy te są zapisane pismem klinowym, które w niczym nie przypominają współczesnej symboliki matematycznej. Jednak metody ich rozwiązywania przez starożytnych rachmistrzów niewiele różnią się od metod stosowanych dzisiaj.
Układy równań liniowych
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
pozwala rozstrzygnąć, czy dany układ równań ma rozwiązanie. W przypadku układu równań oznaczonych,
wzory Cramera
pozwalają na znalezienie ich.
W przypadku układu dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi możliwe przypadki pokazuje tabela:
Nazwa układu równań | Rozwiązanie algebraiczne | Warunek i przykład | Interpretacja graficzna |
---|
Oznaczony | Rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb (x, y) | ,
| Dwie proste przecinające się |
Nieoznaczony | Nieskończenie wiele rozwiązań |
| Dwie proste pokrywające się |
Sprzeczny | Brak rozwiązań | lub
| Dwie różne proste równoległe |
Przypisy
Zobacz też