Pojęcie forsingu –
praporządek
używany w teorii
forsingu
i jej zastosowaniach.
Jeśli jest pojęciem forsingu, to elementy
zbioru
są nazywane warunkami, a dla takich że mówimy że warunek q jest silniejszy niż warunek p. Ponieważ część matematyków używa odwrotnej notacji (głównie
Saharon Shelah
i jego współpracownicy), to zwyczajowo przyjmuje się konwencję alfabetyczną: warunki silniejsze są oznaczane przez późniejsze litery
alfabetu
.
Gdy nie istnieje warunek silniejszy od każdego z dwóch warunków q oraz r, to mówimy, że te dwa warunki są sprzeczne.
W artykule o forsingu, teoria leżąca u jego podstaw jest rozwinięta w oparciu o
zupełne algebry Boole'a
, jednak często rozwija się tę teorię bazując całkowicie na pojęciach forsingu[1].
Związek z zupełnymi algebrami Boole'a
Każde pojęcie forsingu jest bardzo blisko związane z pewną zupełną algebrą Boole'a. Aby przedstawić ten związek, musimy wprowadzić algebry Boole'a regularnie
otwartych
podzbiorów
przestrzeni topologicznej
.
Niech (X,τ) będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór jest regularnie otwarty jeśli int(cl(U)) = U (gdzie int jest operacją
wnętrza
zbioru a cl oznacza operację domknięcia). Na rodzinie RO(X) wszystkich regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni X wprowadzamy operacje +, · oraz ∼ przez:
, oraz .Wówczas jest zupełną algebrą Boole'a.
Powiemy, że
porządek częściowy
jest separatywny jeśli dla każdych warunków takich że można znaleźć warunek który jest silniejszy niż q (tzn ) oraz sprzeczny z p (tzn nie ma żadnego warunku który by spełniał jednocześnie oraz ).
Przypuśćmy teraz, że jest separatywnym porządkiem częściowym. Dla połóżmy . Wówczas
rodzina
jest
bazą
pewnej topologii τ na zbiorze . Każdy zbiór Up jest regularnie otwarty w tej topologii a odwzorowanie
jest zanurzeniem porządkowym którego obraz jest gęstym podzbiorem algebry (tzn każdy niepusty regularnie otwarty podzbiór zawiera pewien zbiór Up ()).
Tak więc każdy separatywny porządek częściowy może być traktowany jako gęsty podzbiór pewnej zupełnej algebry Boole'a. (Algebra ta jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do
izomorfizmu
identycznościowego
na .)
W ogólnym przypadku pojęć forsingu (czyli praporządków), dokonuje się najpierw pewnych utożsamień aby otrzymać separatywny porządek częściowy.
Przykłady pojęć forsingu
Rodzina pojęć forsingu stosowanych w
teorii mnogości
jest olbrzymia. Duża część
publikacji
prezentujących nowe wyniki niezależnościowe wprowadza też nowe pojęcia forsingu używane w dowodach. Poniżej dajemy przykłady jednych ze starszych pojęć forsingu.
- warunkami są skończone
ciągi
p
liczb naturalnych
,
- porządkiem jest odwrotna relacja przedłużania ciągów (czyli wtedy i tylko wtedy gdy );
- powyżej, symbol oznacza relację wydłużania ciągów. Jeśli ciągi są traktowane jako funkcje to relacja ta jest relacją zawierania (i ).
Algebra Boole'a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa , gdzie jest σ-
ciałem
borelowskich
podzbiorów
prostej rzeczywistej
a jest rodziną wszystkich zbiorów które są
pierwszej kategorii
.
- warunkami są te
domknięte
podzbiory które mają dodatnią
miarę Lebesgue'a
,
- porządkiem jest relacja
zawierania
(tzn wtedy i tylko wtedy gdy ).
Algebra Boole'a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa , gdzie jest σ-ciałem borelowskich podzbiorów a jest rodziną tych zbiorów które są
miary zero
.
- warunkami są zbiory T skończonych ciągów liczb naturalnych takie że
- (a) oraz
- (b) jest nieskończony]).
- porządkiem jest relacja zawierania (tzn wtedy i tylko wtedy gdy ).
- warunkami są
pary
(w,A) takie, że w jest skończonym zbiorem liczb naturalych, A jest nieskończonym zbiorem liczb naturalnych oraz max(w) < min(A),
- porządek jest zdefiniowany przez wtedy i tylko wtedy gdy , oraz .
- warunkami są
pary
(n,f) takie, że n jest liczbą naturalną, a jest funkcją.
- porządek jest zdefiniowany przez wtedy i tylko wtedy gdy , dla każdego k, i
- warunkami są
doskonałe
podzbiory
prostej rzeczywistej
,
- porządkiem jest relacja zawierania.
Rozważane własności
W teorii forsingu rozważa się szereg własności pojęć forsingu które mają wpływ na własności odpowiadającym im rozszerzeń generycznych modeli teorii mnogości. Poniżej wymieniamy parę najbardziej znanych własności tego typu.
- Niech κ będzie
liczbą kardynalną
. Powiemy że pojęcie forsingu spełnia κ-cc jeśli każdy
antyłańcuch
w jest mocy mniejszej niż κ. Jeśli spełnia -cc to mówimy wtedy też że spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo spełnia ccc ("countable chain condition")
- Dla liczby kardynalnej κ, powiemy że pojęcie forsingu jest ( < κ)-domknięte jeśli każdy
łańcuch
w mocy mniejszej niż κ ma ograniczenie dolne.
- Niech χ będzie regularną liczbą kardynalną a będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż χ. Przypuśćmy, że jest pojęciem forsingu a N jest
przeliczalnym
elementarnym podmodelem takim, że . Powiemy, że warunek jest warunkiem -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha który należy do modelu N mamy
dla każdego , jeśli r,q są niesprzeczne, to - (Przypomnijmy, że warunki r,q są niesprzeczne jeśli istnieje warunek silniejszy niż oba te warunki.)
- Pojęcie forsingu jest proper[6][7], jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej χ istnieje taki, że:
- jeśli N jest przeliczalnym elementarnym podmodelem , oraz ,
- to istnieje warunek który jest -generyczny.
Bibliografia
- ↑ John P. Burgess: Forcing. [w:] Handbook of mathematical logic. [pod red.] Jona Barwise'a. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", Vol. 90. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977. .
- ↑ Cohen, Paul J.: Set theory and the continuum hypothesis. W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1966.
- ↑ Solovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. "Ann. of Math." (2) 92 1970 s.1-56.
- ↑ Laver, Richard: On the consistency of Borel's conjecture. "Acta Math." 137 (1976), no. 3-4, s. 151-169.
- ↑ Mathias, A.R.D.: Happy families. "Ann. Math. Logic" 12 (1977), no. 1, s. 59-111.
- ↑ Shelah, Saharon: Proper and improper forcing. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1998. .
- ↑ Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). "Israel Math. Conf. Proc.", 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305-360.
Zobacz też