Wpisany w okrąg wielokąt z zaznaczonymi symetralnymi.
Okrąg opisany na
wielokącie
–
okrąg
, na którym leżą wszystkie wierzchołki wielokąta.
Na wielokącie można opisać okrąg
wtedy i tylko wtedy
, gdy
symetralne
jego wszystkich boków przecinają się w jednym
punkcie
. Punkt ten jest wówczas środkiem okręgu opisanego. Wynika stąd, że na żadnym
wielokącie niewypukłym
nie da się opisać okręgu. Również nie na każdym
wielokącie wypukłym
można go opisać. Można to jednak zrobić dla każdego
trójkąta
,
prostokąta
oraz
wielokąta foremnego
.
Okrąg opisany na trójkącie
Okrąg można opisać na każdym trójkącie. Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach równych odpowiednio a, b, c wynosi:
- (gdzie P jest polem trójkąta)
Promień możemy wyznaczyć też z
twierdzenia sinusów
, ze wzoru:
Przykład
Wystarczy znać długość boku i leżącego naprzeciwko niego kąta, np. mając dane a i α obliczamy
Promień okręgu opisanego na
trójkącie prostokątnym
jest równy c/2.
Przeciwprostokątna
c jest zarazem
średnicą
tego okręgu, a kąt prosty trójkąta - oparty na średnicy.
Z kolei w przypadku
trójkąta równobocznego
o boku a stosuje się wzór:
Twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie
Twierdzenie. Okrąg można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych
kątów
są równe π.
Dowód
Okrąg opisany na czworokącie
Kąty α i α' oraz β i β' są parami kątów opartych na tym samym łuku. Na mocy twierdzenia o
kącie wpisanym
i
kącie środkowym
opartych na tym samym
łuku
otrzymujemy następujące zależności:
Jednocześnie kąty α' i β' tworzą razem kąt pełny. Zatem:
Analogicznie postępujemy dla drugiej pary kątów.
Zobacz też