Kwaterniony –
struktura algebraiczna
(
liczby
) będąca rozszerzeniem
ciała
liczb zespolonych
. Kwaterniony zostały wprowadzone przez
irlandzkiego
matematyka
Williama Hamiltona
w
1843
i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły
przemienności
(należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej jak i stosowanej, zobacz sekcję Zastosowania.
Współczesna matematyka opisuje kwaterniony jako czterowymiarową,
unormowaną
algebrę z dzieleniem nad
liczbami rzeczywistymi
. Algebra kwaternionów jest oznaczana przez od pierwszej litery nazwiska twórcy. Wspomniana algebra zajmuje specjalne miejsce w
algebrze
, ponieważ zgodnie z
twierdzeniem Frobeniusa
jest jednym z trzech skończenie wymiarowych pierścieni z dzieleniem zawierających liczby rzeczywiste jako
podpierścień
.
Zapis
Jest kilka sposobów przedstawiania kwaternionów. Jednym z nich jest przedstawienie kwaternionów w postaci macierzowej, czyli jako
macierzy
z przestrzeni takich, że
- , gdzie .
Innym sposobem zapisu macierzowego jest[1]
- , dla .
Kolejnym sposobem zapisu jest postać algebraiczna – wprowadzenie oznaczenia dla szczególnych macierzy (kwaternionów)
pozwoli na zapis dowolnego kwaternionu w postaci
- q = a + bi + cj + dk, gdzie .
Wtedy nazywa się czasami częścią rzeczywistą kwaternionu q.
Dodatkowo niech dla .
Sprzężenie, wyznacznik, moduł
Sprzężenie w kwaternionach definiujemy następującym wzorem:
- ,
w postaci algebraicznej:
- .
Wyznacznik kwaternionu definiujemy wg wzoru
- detq = | z | 2 + | w | 2.
Moduł to pierwiastek z wyznacznika:
- ,
albo równoważnie w postaci algebraicznej:
Własności sprzężenia i modułu
Własności
Wykorzystując wspomniany
izomorfizm
kwaternionów i ich postaci macierzowej otrzymujemy:
- z własności dodawania macierzy wnioskujemy, iż suma dwu kwaternionów jest kwaternionem;
- podobnie iloczyn dwu kwaternionów jest kwaternionem,
- dla kwaternionu :
- ,
- istnieje kwaternion odwrotny zadany wzorem
- .
Zauważmy jeszcze iż:
- mnożenie kwaternionów jest łączne, czyli (ab)c = a(bc),
- zachodzą rozdzielności mnożenia względem dodawania, czyli
- x(y + z) = xy + xz,
- (y + z)x = yx + zx.
Tak zdefiniowane kwaterniony i,j,k spełniają następujące zależności:
- i2 = j2 = k2 = ijk = − 1,
- ij = − ji = k,
- jk = − kj = i,
- ki = − ik = j,
- 1q = q1 = q dla dowolnego q, czyli 1 jest
elementem neutralnym
mnożenia,
- rq = qr o ile (jest kwaternionem postaci r + 0i + 0j + 0k), natomiast q dowolnym kwaternionem.
- .
Izomorficzność
Ponieważ kwaterniony są uogólnieniem pewnych ciał liczbowych, poniżej wskazujemy izomorfizmy pewnych podzbiorów kwaternionów z tymi ciałami:
- kwaterniony postaci można utożsamiać z liczbami rzeczywstymi,
- następujące zbiory kwaternionów możemy utożsamiać z ciałem
liczb zespolonych
:
Własności algebraiczne
Grupa kwaternionów
Z powyższych własności i praw działań na macierzach wnioskujemy, iż zbiór {1, − 1,i, − i,j, − j,k, − k} z mnożeniem tworzy
grupę
oznaczaną symbolem Q8 (od liczby elementów).
Zbiór kwaternionów z dodawaniem jako działaniem tworzy
grupę abelową
(zbiór z mnożeniem nie jest grupą abelową), a ponieważ działanie mnożenia jest łączne i zachodzi jego rozdzielność obustronna względem dodawania, to kwaterniony ze wspomnianymi dwoma działaniami tworzą
pierścień
nieprzemienny (ponieważ ), w którym rozwiązywalne są równania postaci Ax + B = C oraz .
Pierścień z dzieleniem
Co więcej: zbiór kwaternionów z działaniami dodawania i mnożenia tworzy
pierścień z dzieleniem
, spełnione są w nim wszystkie aksjomaty
ciała
z wyjątkiem warunku ab = ba.
Przykłady
Niech
- x = 2 + 3i + 4k
- y = 2 + 3j + 2k
Wtedy
- x + y = 4 + 3i + 3j + 6k,
- xy = (2 + 3i + 4k)(2 + 3j + 2k) =
- = 2(2 + 3j + 2k) + 3i(2 + 3j + 2k) + 4k(2 + 3j + 2k) =
- = 4 + 6j + 4k + 6i + 9ij + 6ik + 8k + 12kj + 8k2 =
- = 4 + 6j + 4k + 6i + 9k + 6( − j) + 8k + 12( − i) + 8( − 1) =
- = − 4 − 6i + 21k
Geometryczna interpretacja mnożenia
Jak liczbę zespoloną tak i kwaternion można przedstawić w postaci sumy części rzeczywistej oraz urojonej a + v. W tej postaci , zaś wektorem trójwymiarowym. Wtedy iloczyn dwóch wektorów urojonych można wyrazić jako: , a dwóch kwaternionów - jako: . We wzorach tych kropka oznacza
iloczyn skalarny
, a krzyżyk
iloczyn wektorowy
w przestrzeni trójwymiarowej.
Obroty przestrzeni trójwymiarowej
Kwaterniony jednostkowe tworzą sferę jednostkową S3 w przestrzeni czterowymiarowej. Grupa ta jest blisko związana z
grupą obrotów
SO3 przestrzeni trójwymiarowej. Przypiszmy mianowicie dowolnemu kwaternionowi h obrót Th wg wzoru:
- Th(x) = hxh − 1.
Wówczas:
-
przekształcenie
Th jest obrotem w trójwymiarowej przestrzeni kwaternionów urojonych.
- przekształcenie definiuje podwójne nakrycie grupy SO3 przez sferę S3.
- jeśli wyrazimy kwaternion h w postaci wykładniczej eva, wtedy Th jest obrotem wokół osi v kąt 2a.
Zastosowania
Kwaterniony są używane w
grafice komputerowej
do wykonywania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Klasa obsługująca kwaterniony zdefiniowana jest w pakiecie
DirectX
[2]. Ich zastosowania w matematyce są jednak o wiele szersze.
Sam Hamilton używał kwaternionów do linearyzacji
równań różniczkowych
, m.in. w
mechanice niebieskiej
- obrót to pomnożenie przez stałe kwaterniony. Kwaternionów Hamiltona używa się do konstrukcji
wiązek wektorowych
w
geometrii różniczkowej
. Użyto ich też w
teorii liczb
do badania liczby przedstawień liczby naturalnej jako sumy czterech kwadratów liczb całkowitych (co akurat przydaje się w
równaniach różniczkowych cząstkowych
).
Uogólnionych algebr kwaternionów używa się w teorii liczb (ładne sformułowanie zasady lokalno-globalnej Minkowskiego-Hasse),
geometrii algebraicznej
(
stożkowe
jako
rozmaitości
Severi-Brauera); pojawiają się w teorii kohomologii Galois (kohomologii etalnych) jako elementy rzędu 2 w grupie Brauera ciała (słynne twierdzenie Merkurjewa z
1981
identyfikuje owe elementy rzędu dwa jako klasy iloczynów tensorowych uogólnionych algebr kwaternionów); algebraiczna K-teoria rzutowej krzywej stożkowej wyraża się przez algebraiczną K-teorię ciała współczynników i K-teorię odpowiedniej uogólnionej algebry kwaternionów. Ogólniej, R. Swan udowodnił w
1985
, że algebraiczna K-teoria
kwadryki
rzutowej wyraża się przez algebraiczne K-teorie ciała i odpowiedniej
algebry Clifforda
, która jest albo algebrą
macierzy
nad iloczynem tensorowym uogólnionych algebr kwaternionów, albo
iloczynem kartezjańskim
dwóch takich algebr (macierzy).
Zobacz też
Linki zewnętrzne
Bibliografia
Przypisy