Transformacja Lorentza (przekształcenie Lorentza) –
przekształcenie liniowe
przestrzeni Minkowskiego
umożliwiające obliczenie wielkości fizycznych w pewnym układzie odniesienia, jeśli znane są te wielkości w układzie poruszającym się względem pierwszego. Przekształceniu temu podlegają np. współrzędne w czasoprzestrzeni, energia i pęd, prędkość (zarówno wartość jak i kierunek), pole elektryczne i magnetyczne. Wzory transformacyjne zostały wyprowadzone przez
Lorentza
w oparciu o założenie, że prędkość światła jest stała i niezależna od prędkości układu. Bardziej ogólną transformacją czasoprzestrzeni jest transformacja Poincarego.
Transformacja współrzędnych
Transformacja Lorentza zachowuje odległości w czasoprzestrzeni. W przeciwieństwie do
transformacji Galileusza
, gdzie niezmiennikiem jest czas i odległość w przestrzeni, w transformacji Lorentza zachowany jest
interwał
(odległość zdarzeń w czasoprzestrzeni), podczas gdy wielkość jednostki czasu i odległości zależy od prędkości układu odniesienia.
Transformacje współrzędnych mają najprostszą postać wówczas, gdy odpowiadające sobie osie współrzędnych kartezjańskich inercjalnych układów odniesienia, nieruchomego K i poruszającego się K', są do siebie wzajemnie równoległe, przy czym układ K' porusza się ze stałą prędkością
wzdłuż osi OX. Jeśli ponadto jako początek odliczania czasu w obu układach (t = 0) i (t' = 0) wybrany został moment, w którym początki osi współrzędnych O i O' w obu układach pokrywają się, to transformacje Lorentza są w postaci:
![x' = \gamma (x - vt)\,](http://upload.wikimedia.org/math/4/d/c/4dca55a09d494349faad02daa8c1b2b8.png)
![y' = y\,](http://upload.wikimedia.org/math/d/2/9/d29a7f126abe0a92f5bb08e8260bd420.png)
![z' = z\,](http://upload.wikimedia.org/math/4/b/7/4b724820c828fab4cd0d9b77b26b1073.png)
![t' = \gamma \left(t - \frac{v \cdot x}{c^{2}} \right)](http://upload.wikimedia.org/math/5/d/6/5d64e3c69bbb43fa3e15b17d5cf95d27.png)
gdzie
![\gamma = { 1 \over \sqrt{1 - v^2/c^2} }](http://upload.wikimedia.org/math/7/1/0/710ea75b2de2e9919d81ed5ed20bd2e2.png)
lub inaczej
![\beta = {v/c}\,](http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/709f5aaa9841c9de3a1f591d5618e685.png)
![\gamma = { 1 \over \sqrt{1 - \beta^2} }](http://upload.wikimedia.org/math/2/a/4/2a47d0386d59e782eaea3f73e8675179.png)
Dla prędkości znacznie mniejszych od prędkości światła
i
, transformacja Lorentza staje się równoważna z transformacją Galileusza. Oznacza to, że ta druga jest przybliżeniem transformacji Lorentza dla małych prędkości.
W uogólnieniu macierzowym
Rozpatrujemy
czterowektory
, których jedną współrzędną (numerowaną od 0) jest składowa czasowa jakiejś wielkości, a pozostałymi trzema współrzędnymi - klasyczne składowe przestrzenne. W wartościach współrzędnych czterowektorów kryje się wybór konkretnego układu współrzędnych. Aby uzyskać współrzędne interesujących nas wektorów w innym układzie, należy dokonać transformacji (stosujemy
konwencję sumacyjną Einsteina
):
![w^{\alpha'} = \Lambda^{\alpha'}_{\alpha} v^{\alpha}](http://upload.wikimedia.org/math/a/2/6/a2680f9d2926e78795664429706c6f78.png)
gdzie:
- wektor w oryginalnym układzie współrzędnych
- wektor w nowym układzie współrzędnych
- przekształcenie między starym a nowym układem współrzędnych.
Tensorem metrycznym
(metryką) przestrzeni Minkowskiego jest macierz 4x4 której składową (0,0) jest -1, pozostałymi składowymi diagonalnymi jest 1, a wszystkimi innymi składowymi - 0. Metrykę oznaczamy literą g. Aby przekształcenie było transformacją Lorentza, musi pozostawiać metrykę niezmienioną, a wyznacznik jego macierzy musi wynosić 1 lub -1.
![\Lambda^{\alpha'}_{\alpha} \Lambda^{\beta'}_{\beta} g^{\alpha \beta} = g^{\alpha' \beta'}](http://upload.wikimedia.org/math/8/7/0/8704cef307a82576627f33cbb9e98521.png)
![|\det(\Lambda^{\alpha'}_{\alpha})| = 1](http://upload.wikimedia.org/math/8/0/f/80f99ee756c077c3d73e5eb88ef46589.png)
Podgrupy
Jeżeli zażądamy, żeby wyznacznik macierzy przekształcenia Lorentza był równy dokładnie 1, uzyskamy grupę Lorentza bez odbić przestrzennych.
Przekształcenie Lorentza, którego wszystkie współrzędne z wymiarem czasowym są równe 0, z wyjątkiem elementu diagonalnego, który jest równy 1, nazywamy obrotem.
Przekształcenie Lorentza, którego wszystkie współrzędne bez wymiaru czasowego są równe 0, z wyjątkiem elementów diagonalnych, które są równe 1, nazywamy pchnięciem. Pchnięcie przekształca układ współrzędnych w układ poruszający się względem oryginalnego ze stałą prędkością.
Przekształcenia Lorentza bez przesunięć (translacji), czyli takie, które przekształcają początek układu współrzędnych w samego siebie, nazywane są jednorodnymi przekształceniami Lorentza. Przekształcenia Lorentza rozpatrywane razem z przesunięciami nazywają się niejednorodnymi przekształceniami Lorentza.
Wyprowadzenie zjawisk relatywistycznych
Z równań transformacji Lorentza można wyprowadzić wszystkie zjawiska szczególnej teorii względności a także wielkości składowych pól elektrycznego i magnetycznego, które zmieniają się przy zmianie układu odniesienia, jak również określają dodatkowe niezmienniki.
Skrócenie Lorentza-Fitzgeralda
Istotna dla nas dwuwymiarowa czasoprzestrzeń z perspektywy układu Bx',t' w porównaniu z układem Ax,t jest opisana następującymi równaniami:
![x' = \gamma (x - vt)\,](http://upload.wikimedia.org/math/4/d/c/4dca55a09d494349faad02daa8c1b2b8.png)
![t' = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2} \right)](http://upload.wikimedia.org/math/0/0/e/00e678d679807b1ea435df665487c95f.png)
Przez długość rozumiemy odległość dwóch punktów x'1, x'2 na osi OX' w tej samej chwili t' (ponieważ mierzone ciało jest częścią A, więc z perspektywy B jest w ruchu wzdłuż OX', stąd konieczność zagwarantowania względnie jednoczesnego pomiaru). Najpierw wyrazimy x' za pomocą t':
![t = {t' \over \gamma} + \frac{vx}{c^2}](http://upload.wikimedia.org/math/4/6/b/46b52f9b79d07a6fea72bc101681c74f.png)
![x' = \gamma (x - v\frac{t'}{\gamma} - v \frac{vx}{c^2}) = \gamma (x - \frac{v^2 x}{c^2}) - vt' = \gamma x (1 - \frac{v^2}{c^2}) - vt'](http://upload.wikimedia.org/math/5/9/6/5968c78921550006548d3b2a70bf4854.png)
![1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2}](http://upload.wikimedia.org/math/8/1/5/81564b842d203a82da4817aa206a7367.png)
![x' = \gamma \frac{x}{\gamma^2} - vt' = \frac{x}{\gamma} - vt'](http://upload.wikimedia.org/math/b/0/f/b0f4beefa4daf70b3b7d676fd32df61e.png)
Obliczmy długość L' (zał. t'1 = t'2):
![L' = x'_2 - x'_1 = \frac{x_2}{\gamma} - vt'_2 - \frac{x_1}{\gamma} + vt'_1 = \frac{x_2 - x_1}{\gamma} = \frac{L}{\gamma}](http://upload.wikimedia.org/math/9/e/9/9e95e19dc0dfa4c818a00b7e87182502.png)
Ponieważ γ > 1, więc ciało o długości spoczynkowej L zmierzonej w układzie A jest z perspektywy układu B krótsze, co potwierdza relatywistyczną kontrakcję.
Dylatacja czasu
Odejmując wyrażenia na transformację Lorentza dla dwu zdarzeń czasoprzestrzennych i definiując przyrosty czasu w każdym z układów odniesienia jako jednostki czasu mierzonego w danym układzie można uzyskać równanie:
.
We wzorze pojawia się dodatkowo różnica odległości w jednym z układów. Zinterpretowanie tej różnicy jako równej zeru powoduje, że porównuje się współrzędne czasowe wyłącznie jednego zdarzenia, ale w dwu układach odniesienia. Uzyskany wzór określa zatem dylatację czasu (γ > 1).
Pole magnetyczne
W teoriach relatywistycznych skalar natężenia pola elektrycznego (E0) i wektor natężenia pola magnetycznego (B) można połączyć w jeden czterowektor (E).
![E = [E_0, c B_1, c B_2, c B_3]\,](http://upload.wikimedia.org/math/c/7/2/c7265142c55cffcc8dac99d455f2ed0a.png)
Rozważmy cząstkę skalarną naładowaną elektrycznie i pozostającą w bezruchu. W pewnej odległości od tej cząstki zarejestrujemy pole elektryczne i brak pola magnetycznego.
![E_0 = \text{const}\,](http://upload.wikimedia.org/math/8/1/a/81ac35a2eaefa3b0d7873f7150e0fc47.png)
![B = [0, 0, 0]\,](http://upload.wikimedia.org/math/9/8/1/981952c37659bf1da9cb49ec5951e31b.png)
Załóżmy następnie, że naładowana cząstka się porusza, czyli zmieniamy układ współrzędnych na poruszający się względem pierwszego wzdłuż pierwszej osi z prędkością v.
- E'0 = γ(E0 − vcB1) = γE0
![B'_1 = \gamma (B_1 - \frac{v}{c} E_0) = -\gamma \frac{v}{c} E_0](http://upload.wikimedia.org/math/2/7/9/2793d1dab49b6ac034b67b93b9f440a2.png)
Czyli poruszający się ładunek generuje pole magnetyczne.
Czynnik γ jest dla małych prędkości bliski jedności, więc w granicy małych prędkości transformacje Lorentza czterowektora pola elektrycznego sprowadzają się do
praw Ampera
i
Biota-Savarta
.