Średnią arytmetyczną liczb nazywamy liczbę: Inaczej mówiąc jest to iloraz sumy n liczb i n (gdzie n to ilość sumowanych liczb).
Przykłady zastosowania
Średnia arytmetyczna jest właśnie tym, co w potocznym języku określa się mianem średniej. Można ją również określić jako
średnią potęgową
rzędu 1.
Na przykład średnią liczb -5,-3, 0 i 12 jest
Średnia arytmetyczna jest jedną z najbardziej intuicyjnych miar oceny populacji, stosowanych często w codziennym życiu – przykładem może być średnia ocen z matematyki ucznia szkoły podstawowej, który otrzymał następujące noty: 2, 4, 4, 5, 6
W podobny sposób można mówić o średniej płacy w danej firmie, średniej cenie pomarańczy na targowiskach w lipcu 2004 roku czy średnim wzroście poborowych w danym roczniku. Czasami jednak, w próbach o rozkładzie dalekim od
normalnego
z dużym udziałem
obserwacji odstających
lepszą miarą jest
mediana
.
Średnia arytmetyczna jest dobrą
miarą położenia rozkładu
i jednocześnie
miarą tendencji centralnej
. Jest to
miara klasyczna rozkładu
, czyli każda zmiana dowolnego elementu badanego zbioru pociąga za sobą zmianę wartości średniej.
Właściwości statystyczne średniej z próby
Odchylenie standardowe średniej
Jeśli uśredniamy
nieskorelowanych
[1] zmiennych o
odchyleniach standardowych
, to odchylenie ich średniej arytmetycznej jest równe
średniej kwadratowej
odchyleń tych zmiennych:
Jeśli zmienne są skorelowane, wówczas odchylenie średniej będzie inne, np. dla dwóch zmiennych :
gdzie to współczynnik korelacji między nimi.
W ogólnym przypadku dla skorelowanych zmiennych:
gdzie to
kowariancja
i-tej i j-tej zmiennej.
Prawo wielkich liczb
Niech będzie zmienną losową o skończonej
wariancji
i wartości oczekiwanej oraz niech będzie prostą próbą losową z tej zmiennej. Wtedy dla dowolnie małej dodatniej liczby :
Innymi słowy średnia próbkowa dąży do wartości oczekiwanej w populacji wraz ze wzrostem liczności próby. Prawo wielkich liczb można wzmocnić na dwa sposoby, przedstawione dalej.
Centralne twierdzenie graniczne
Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym rozkład średniej z n-elementowej próby wraz ze wzrostem n coraz lepiej odpowiada
rozkładowi normalnemu
o wartości oczekiwanej i odchyleniu , gdzie oraz to odpowiednio wartość oczekiwana oraz odchylenie standardowe w populacji, z której losowana jest próba. Ściślej dla dowolnych liczb rzeczywistych takich, że :
gdzie:
Twierdzenie to jest prawdziwe niezależnie od rozkładu w populacji. Właściwość ta jest wykorzystywana w wielu metodach statystycznych i
estymatorach
. Centralne twierdzenie graniczne jest uogólnieniem prawa wielkich liczb, gdyż opisuje zachowanie całego rozkładu średniej, podczas gdy prawo wielkich liczb opisywało jeden jego parametr (wartość oczekiwaną).
Właściwości średniej jako estymatora
Średnia arytmetyczna w
próbie
jest, niezależnie od rozkładu,
estymatorem zgodnym
i
nieobciążonym
wartości oczekiwanej
rozkładu, z którego próba była losowana. Jeśli jest to
rozkład normalny
, to średnia jest również
estymatorem efektywnym
.
Ograniczenia
Średnia arytmetyczna jest podatna na
obserwacje odstające
(czyli w tym przypadku wartości zmiennej, losowane spoza rozkładu, którego wartość oczekiwaną chcemy estymować, np. pomyłki w danych). W przypadku gdy jest ich dostatecznie dużo, inne
średnie
, takie jak
mediana
czy
średnia ucinana
, mogą dawać lepsze wyniki.
Przypisy
- ↑ nie muszą być
niezależne
, wystarcza zerowa wartość współczynnika korelacji Pearsona
Bibliografia
- Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Warszawa: WNT, 2001. .
- W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: PWN, 2006, s. 48. .
Zobacz też