Zmienna losowa –
funkcja
przypisująca
zdarzeniom elementarnym
liczby
. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania
prawdopodobieństwa
z niewygodnej
przestrzeni probabilistycznej
do dobrze znanej
przestrzeni euklidesowej
. Zmienne losowe to
funkcje mierzalne
względem przestrzeni probabilistycznych.
Zmienną losową jest na przykład funkcja opisującą wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami mogą być: stan techniczny urządzenia, czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6).
Definicja
Zmienną losową (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej nazywamy dowolną rzeczywistą
funkcję mierzalną
, tzn. funkcję ξ spełniającą warunek
- dla każdego
zbioru borelowskiego
.
Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np. X,Y,Z lub liter greckich ξ,η, odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.
Uogólnienia
Rozważa się również zmienne losowe o wartościach w abstrakcyjnych
przestrzeniach topologicznych
(żeby analogicznie mówić o przeciwobrazach zbiorów borelowskich danej przestrzeni topologicznej) - i tak, na przykład: zmienne losowe o wartościach
zespolonych
, nazywa się zmiennymi losowymi zespolonymi. Odwzorowanie mierzalne określone na przestrzeni Ω o wartościach w przestrzeni RN nazywa się wektorem losowym. Wektor losowy ma postać , gdzie dla są zmiennymi losowymi rzeczywistymi.
Często rozważa się zmienne losowe o wartościach w
przestrzeniach polskich
ze względu na ich dobre własności.
Przykłady
- Niech Ω będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwoma
kośćmi do gry
, składa się on z 36 możliwych wyników. Przypisanie każdej kostce liczby wyrzuconych oczek i zobrazowanie wyniku w postaci pary , gdzie jest zmienną losową.
- Zmiennymi losowymi są również następujące funkcje: „iloczyn liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „suma liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „liczba oczek wyrzuconych na pierwszej z kostek”.
Zobacz też