Całkami eliptycznymi nazywamy ważną klasę
całek
postaci
gdzie jest
funkcją wymierną
zmiennych x i y, a jest
wielomianem
o współczynnikach rzeczywistych stopnia 3 lub 4. Całki tego rodzaju, w których za zmienną y podstawimy dowolną funkcję algebraiczną zmiennej x, taką że
gdzie jest wielomianem względem zmiennych x i y nazywa się czasem całkami
Abela
. Całki eliptyczne są więc podklasą całek Abela.
Z całkami eliptycznymi po raz pierwszy zetknięto się podczas obliczania
obwodu
elipsy
, stąd też wzięły swoją nazwę. Nazwa ich nie jest jednak jednoznaczna, ponieważ w ścisłym znaczeniu dotyczy tylko tych całek postaci (1), które nie dają się wyrazić za pomocą
funkcji elementarnych
. Te z nich, które sprowadzają się do postaci skończonej, nazywa się całkami pseudoeliptycznymi.
Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są
funkcje eliptyczne
. Na przykład funkcja eliptyczna
Weierstrassa
jest funkcją odwrotną do funkcji wyrażonej przez całkę
tzn. , o ile .
Choć całki postaci (1) nie wyrażają się zwykle przez funkcje elementarne, to każdą z nich można za pomocą
podstawień
doprowadzić do jednej z następujących trzech całek
gdzie h jest parametrem
zespolonym
. Całek tych, jak pokazał
Liouville
, nie da już wyrazić się za pomocą funkcji elementarnych.
Legendre
zastosował podstawienie t=sinφ, dzięki czemu całki te uprościły swoją postać do całek
które nazywamy odpowiednio całką eliptyczną pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju w postaci Legendre'a. Szczególnie ważne i często używane są pierwsze dwie z nich, które traktowane jako całki oznaczone w granicach od 0 do ψ oznaczamy za Legendre'm odpowiednio F(k,ψ) i E(k,ψ).
Parametr k występujący w funkcjach F i E nazywamy modułem.
Całki eliptyczne F i E nazywamy też całkami eliptycznymi niezupełnymi dla odróżnienia od całek eliptycznych zupełnych danych wzorami
Wartości całek eliptycznych zupełnych K i E są stabelaryzowane i można je znaleźć w tablicach matematycznaych.
Praktyczną korzyścią z tabelaryzacji całek eliptycznych jest możliwość policzenia przybliżonego obwodu
elipsy
. Na przykład dla a=2 i b=1 mamy
mimośród
e=0,866. Obwód wtedy jest równy 4aE(e) czyli w przybliżeniu dla powyższych wartości 9,68.
Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje amplitudy.