Złoty podział (
łac.
sectio aurea), podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja (
łac.
divina proportio) — podział
odcinka
na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej (stosunek ten nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą
φ
- czyt. "fi"). Innymi słowy: długość dłuższej części ma być
średnią geometryczną
długości krótszej części i całego odcinka.
Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano go np. w planach budowli na
Akropolu
.
Wartość liczby φ
Korzystając z definicji można obliczyć wartość złotej liczby.
Z
rozdzielenia
w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika
czyli
- 1 + 1/φ = φ
Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, równość powyższą sprowadza się do postaci ogólnej
równania kwadratowego
:
- φ² – φ – 1 = 0
Ma ono dwa rozwiązania
rzeczywiste
:
jedno z nich jest dodatnie:
Złota liczba
Liczba φ bywa nazywana złotą liczbą
Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich
liczb Fibonacciego
:
- 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,...
co daje kolejno:
- 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55... → φ
Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001.
Równanie rekurencyjne
Czasami tym samym terminem określa się liczbę odwrotną:
Przykłady
Złoty podział w pięciokącie foremnym.
- Bok
dziesięciokąta foremnego
ma długość równą długości dłuższego odcinka otrzymanego ze złotego podziału promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie.
- .
Złoty prostokąt
Jest to
prostokąt
, którego boki pozostają w złotym stosunku. Charakteryzuje się tym, że po dorysowaniu doń
kwadratu
o boku równym dłuższemu bokowi prostokąta otrzymuje się nowy, większy złoty prostokąt. Wynika to wprost z definicyjnej własności liczby φ – jeśli na początku:
(na rysunku poniżej prostokąt oznaczony kolorem czerwonym), to po dobudowaniu kwadratu na dłuższym boku (zaznaczony na czarno) otrzymuje się prostokąt o bokach a+b i a:
Odpowiednio w drugą stronę, odcinając od (dużego) złotego prostokąta kwadrat o boku równym krótszemu bokowi prostokąta (czarny) otrzymuje się prostokąt (czerwony), którego boki nadal pozostają w złotym stosunku.
Powtarzając te czynności otrzymuje się kolejne coraz większe lub coraz mniejsze złote prostokąty.
Przykład konstrukcji
|
Przykład konstrukcji złotego prostokąta |
Powyżej zilustrowano jeden z wielu sposobów wyznaczenia złotego podziału. Kolejne kroki konstrukcji:
- Zbuduj kwadrat o dowolnie wybranym boku a.
- Znajdź środek jednego z boków kwadratu (na rysunku jest to środek dolnego boku).
- Weź
odcinek
łączący środek boku z końcem boku przeciwległego (na rysunku – odcinek c) i odłóż go ze środka boku na
prostej
, w której zawiera się ten bok (czynność na rysunku zaznaczona łukiem okręgu).
- Część odłożonego odcinka, wystająca poza bok kwadratu, wyznacza szukaną długość b.
Długości początkowego odcinka a i znalezionego b pozostają w złotym stosunku, a/b=φ, wyznaczają więc złoty podział skonstruowanego mimochodem odcinka a+b.
Algebraiczny dowód poprawności konstrukcji
Znaleziony w trzecim kroku odcinek c jest przeciwprostokątną
trójkąta prostokątnego
o przyprostokątnych a i a/2. Na mocy
twierdzenia Pitagorasa
:
zatem jego długość:
Odkładając odcinek c w prawo ze środka boku kwadratu otrzymaliśmy odcinek (dłuższy bok prostokąta) o długości:
zaś za b przyjęliśmy część (czerwoną) pozostałą po skróceniu o odcinek a (czarny):
czyli:
Stosunek długości a:b wynosi:
czyli równy jest złotej liczbie. Konstrukcja prowadzi więc do złotego podziału.
Zobacz też
Linki zewnętrzne